76 线性代数重点难点30讲 (7)A'-B'(在A可逆的假设下); (8)Pf(A)P=f(PAP)(f(4)为矩阵A的多项式) 证只证(7),(8)(1)至(6)的证明留给读者) (7)因为A可逆且A~B,所以由(5)知B也可逆,由(2)知A1~B1,即存在可逆矩 阵P使得PAP=B,两边同乘|A1,得 IA IPAP=IAIB, 又1A1=1B1,于是P1A1AP=1BIB1,即PAP=B',即A‘~B (8)设f(x)=x”+a1x”1+…+an1x+an,则有 P" f(AP=P(A"+a1A+.+aM-A+a,E)P =PAP+a,PAP+.+a-P AP+a, P EP =(PAP)“+a1(PAP) +am-1(P AP)+a,(P EP) ( AP) 注意区分矩阵“等价”与“相似”这两个概念.矩阵等价是同型矩阵之间的一种关系:若 矩阵A(不一定是方阵)经若干次初等变换可化成矩阵B,则称A与B等价或者说,若存在 可逆方阵P、Q,使得PAQ=B,则称A与B等价而矩阵相似是同阶方阵之间的一种关系 对于同阶方阵A、B,若存在同阶可逆矩阵P,使得PAP=B,则称A与B相似从定义可 见,若方阵A与B相似,则A与B必等价,但反之则未必例如方阵 2101 「1001 A=020与B=020 002 003」 因为A与B是有相同秩(为3)的同型矩阵,所以A与B是等价的,但A与B不相似,因 为相似矩阵有相同的特征值,而A的特征值为2,2,2,B的特征值为1,2,3,A与B的特征值 不完全相同,所以依上述性质(4)知A与B不相似 四、合同矩阵 设A,B为同阶方阵,若有可逆矩阵P,使B=PAP,则称A与B合同 例8问矩阵A=10-3与B=0-20是否合同? 解由于有可逆矩阵P=1-1-1,使 001 11010111「1131「000 PAP=1-1010-31-1-1=0-20= 1」L1-30」L0 006