第14讲正交矩阵、正定矩阵、相似矩阵、合同矩阵 75 A,B的正定性,可以构造一个满足C=PP的分块矩阵,从而得证C是正定矩阵 证因为A,B是正定矩阵所以存在可逆矩阵V、Q,使A=Vv,B=QQ成立 令矩阵P= V 01r vO PP OQ」!OQ Q 0 OTd=LO B/C 三、相似矩阵 设A、B为两个同阶方阵,如果存在一个可逆矩阵P,使PAP=B成立,则称矩阵A 与B相似,记为A~B 7-126 1001 例7已知A=10-1910,A=010,P 00-1 试验证A~A 解易计算得|P|=-1,P1= 612-7=6-127 51「7-1261「2-13 PAP= 10-19101 12-112-2413L016 =010=A. 故A 相似矩阵的性质:若A~B,则有 (1)A~B; (2)A1~B(若A、B均可逆); (3)A~B(k为正整数)(可推广为:对任意多项式f,f(A)~f(B)) (4)1AE-A1=1AE-B1,即A、B有相同的特征值; (5)1A1=|B1,即A、B的行列式相同,从而A,B同时可逆或同时不可逆; (6)R(A)=R(B),即A、B有相同的秩;