74 线性代数重点难点30讲 证由正交矩阵性质(1)知|A1=±1,|B|=±1,故由条件|A|=-1B1,知1A1 1.由正交矩阵定义有 TA=E. BB 所以1A+B|=1AE+EB|=1ABB+AAB =IA(B+ABIEIAIIB+AIIBI =-|B+A1=-1(B2+A)"1 =-|B+A|=-|A+B 移项,得21A+B|=0,故1A+B1=0. 注意本题证明中利用了“同阶方阵乘积的行列式等于各个方阵的行列式的乘积 AB|=1A|1B”及“方阵的行列式与其转置的行列式相等即|A|=1AT1 正交矩阵与正定矩阵是完全不同的概念 二、正定矩阵 设A为n阶实对称方阵(A1=A)且R(A)=n,若对于任意的n元非零向量x=(x1, 2,…,xn)≠0,均有 则称A为正定矩阵 例5设A是m×n实矩阵,E是n阶单位矩阵,求证当λ>0时,矩阵P=AE+AA 为正定矩阵 证首先要说明P是实对称矩阵,再根据上述正定矩阵的定义来证明P是正定的 由于P=(AE+AA)=AE+AA=P,所以P为实对称矩阵;又因对任意的非 零向量x,xPx=x(AE+AA)x=xx+xAAx=x'x+(Ax)"Ax=|x12+1 Ax12,于是当λ>0时,有xPx>0,所以P为正定矩阵 由定义容易推出正定矩阵常用的几条性质: (1)正定矩阵是可逆矩阵,且|A1>0; (2)若A、B是同阶正定矩阵,则A+B,kA(k>0),A,A1,A·也是正定矩阵(参考 第30讲); (3)n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵M,使A=MM(参考 第16讲) 由性质(3)可知:当A为正定矩阵时,由A=MTM(M可逆)两端取行列式,可得|A1 1M12>0,即正定矩阵的行列式必大于0,这是实对称矩阵为正定矩阵的一个必要条件 这与性质(1)是一致的 A O 例6设A,B分别为m,n阶正定矩阵,试证分块矩阵C= 是正定矩阵 0 B 分析根据上述性质(3)矩阵C正定的充要条件是存在可逆矩阵P使得C=PP,由