第14讲正交矩阵、正定矩阵、相似矩阵、合同矩阵 222 0 0 是否是正交矩阵 解根据P为正交矩阵的充要条件是P的列向量(或行向量)都是单位向量且两两正 交,显然P的列向量都是单位向量且两两正交,故P是正交阵, 例2设x是n维列向量,x2x=1.令H=E-2xx2.证明:H是对称的正交矩阵 证设x=(x1,x2,…,xn),则xx=x2+x2+…+x2=1,而 xr=ti(ci, 2,d./=312 是一个n阶对称矩阵故H=E-2x2亦是对称矩阵 要证H=E-2xx是正交矩阵,只要能证H=E即可 而H=(E-2x)=E7-2(x2)·xT=E-2x HH=(E-2x2)(E-2x)=(E-2xx2)(E-2x2) -E2-2xxE-2Exx+4xxxx E-4xx+4x(xx)xT(因为x2x=1) E-4 E 故H是对称的正交矩阵 注意当x为n维列向量时,xx是一个n阶矩阵,而x2x却是一个数常称形如本题 中的正交矩阵H=E-2xx为初等正交矩阵 例3设A是正交矩阵.证明:A(A的伴随矩阵)也是正交矩阵 证因A是正交矩阵,故A|=±1,且A1=A.而 A A 即A=1A|A.又因 1·(A|A)=1A12A·A=E 故A是正交矩阵 例4设A、B均为n阶正交矩阵,且1A|=-1BI证明:|A+B=0