72 线性代数重点难点30讲 第14讲正交矩阵、正定矩阵、 相似矩阵、合同矩阵 、正交矩阵 若n阶方阵A满足:AA=AA=E,就称A为正交矩阵.用a1=(a1,a1, a1n),a2=(a2,a2,…,a2n),…,an=(an,an2,…,anm)表示正交矩阵A的行向量,则由 定义得 (a1,a1)(a1,ax2) I 0 (a2,ax1)(a2,ax2) a2,a,) 01 0 E a, a,)(a, a,)".(a, a. 00 叮见 (1,a1)=1(i=1,2 (a1,a,)=0(i≠j;i,j=1,2,…,n a1+a2+…+al=1(i=1,2,…,n), 十 =1,2,…,n) 或缩写为 A4,=O 1,2,…,n) 这个结果用文字叙述,就是:正交矩阵A的行向量组成一个正交向量组;正交矩阵A的行向 量都是单位向量.同理可知:正交矩阵的列向量也是一个正交单位向量组 由定义可直接推得正交矩阵A具有性质 (1)正交矩阵是可逆矩阵,且1A|=±1; (2)A是正交矩阵,则A,A也是正交矩阵,且AT=A (3)若A1,A2为同阶正交矩阵,则A1A2,A2A1仍是正交矩阵; (4)正交矩阵的n个行(列)向量组成两两正交的单位向量组 例1验证矩阵