§4.4依测度收敛 改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围,二是为了使得操作更方便。对 (R)积分而言,积分与极限交换顺序需要验证一个较为苛刻的条件:“fn(x)在E 上一致收敛于f(x)”,将“一致收敛”削弱为“处处收敛”甚至“几乎处处收 敛”是一种思路,在此介绍另一种削弱“一致收敛”条件的方法 从集合论的角度讲:“fn(x)在E上一致收敛于f(x)”是指0>0,No >0,当n>N时,E[|fn(x)-f(x)|≥0]=中,之所以我们认为“一致收敛” 条件苛刻,就在于它要求E[|fn(x)-f(x)≥0]从某项以后永远为空集。能否 改成允许不空,甚至允许为正测度集,但必须满足 mE[|fn(x)-f(x)|≥0]→0(n→+∞) 呢?这就导致了一个新的收敛概念的产生。 定义4.3.1设f(x),fn(x)(n=1,2,…)为在E上几乎处处有限的可测 函数,并对0>0,yε>0,彐No>0,当n>N时,mE[fn(x)-f(x)|≥0] <E,即对0>0,有imm[fn(x)-f(x)|≥0]=0,则称函数列{fn(x) 在E上依测度收敛于f(x),记为f(x)→f(x)于E。 显然,若fn()-→)f(x)于E,则fn(x)→fx)于E。 定理4.4.1( Lebesgue定理)设m<+∞,f(x),fn(x)(n=1,2,…)为 在E上几乎处处有限的可测函数,且f(x)—"→f(x)a.e于E,则 fn(x)→f(x)于E。§４.4 依测度收敛 改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围，二是为了使得操作更方便。对 (R)积分而言，积分与极限交换顺序需要验证一个较为苛刻的条件：“f n (x)在 E 上一致收敛于 f(x)”，将“一致收敛”削弱为“处处收敛”甚至“几乎处处收 敛”是一种思路，在此介绍另一种削弱“一致收敛”条件的方法。 从集合论的角度讲：“f n (x)在 E 上一致收敛于 f(x)”是指∀ σ＞0，ョ N 0 ＞0，当 n＞N 0时，E[|f n (x)－f(x)|≥σ]＝φ，之所以我们认为“一致收敛” 条件苛刻，就在于它要求 E[|f n (x)－f(x)|≥σ]从某项以后永远为空集。能否 改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必须满足 mE[|f n (x)－f(x)|≥σ]→0(n→＋∞) 呢？ 这就导致了一个新的收敛概念的产生。 定义４.３.１ 设 f(x)，f n (x)(n＝1,2,...)为在 E 上几乎处处有限的可测 函数，并对∀ σ＞0，∀ ε＞0，ョ N 0＞0，当 n＞N 0时，mE[|f n (x)－f(x)|≥σ] ＜ε， 即对∀ σ＞0，有n→∞ lim mE[|f n (x)－f(x)|≥σ]＝0，则称函数列{f n (x)} 在 E 上依测度收敛于 f(x)，记为 f n (x)⇒ n→∞ f(x)于 E。 显然，若 f n (x) 一致→ f(x)于 E，则 f n (x)⇒ n→∞ f(x)于 E。 定理４.4.１ (Lebesgue 定理)设 mE＜＋∞，f(x)，f n (x)(n＝1,2,... )为 在 E 上几乎处处有限的可测函数，且 f n (x) n  →→ ∞ f(x) a.e 于 E，则 f n (x)⇒ n→∞ f(x)于 E