证明因为Efn(x)-)f()=U∩∪Efn(x)-f(x)|≥ 又因为f,(x)在E上几乎处处收敛于f(x),所以m[fn(x)-f(x)]=0,于 是对km(∩UEfn(x)-f(x)1≥])=0,由内极限定理 limmU Elf,(x)-f(x)1>1=0 对0>0,3<0,则Efn(x)-f(x)|≥0]cE[fn(x)-f(x)≥], 即0≤m[fn(x)-f(x)|≥0]≤mE[fn(x)-f(x)≥ 0(n→+∞),所以 f(x)→f(x)于E。证毕 反过来,若f(x)在E上依测度收敛于f(x),不能保证fn(x)在E上几乎处 处收敛于f(x),请看下述反例 例4.4.1fn(x)= =1,2,…,n.显然fn(x) 0于(0,1),但对任意的x∈(0,1),对每一个n,都存在f(x)=1同时对每 个n,都存在f(x)=0,从而对任意的x∈(0,1),f(x)都不收敛于任何实 但这并不意味着依测度收敛与几乎处处收敛没有任何联系,著名的F. Riesz 定理反映了它们的内在联系 定理4.4.2(F. Riesz定理)若f(x)→f(x)于E,则彐子列证明 因为 E[f n (x) − af(x)]＝U ∞ k=1 I ∞ N=1 U ∞ n=N E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ] 又因为 f n (x)在 E 上几乎处处收敛于 f(x)，所以 mE[f n (x) − a f(x)]＝0，于 是对∀ k 1 ,m｛ I ∞ N=1 U ∞ n=N E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]｝＝0，由内极限定理 N→∞ lim mU ∞ n=N E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]＝0 (４.３.１) 对∀ σ＞0，ョ k 1 ＜σ,则 E[|f n (x)－f(x)|≥σ]⊂ E[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]， 即 0≤mE[|f n (x)－f(x)|≥σ]≤mE[|f n (x)－f(x)|≥ k 1 ]─→0(n→+∞)，所以 f n (x)⇒ n→∞ f(x)于 E。 证毕 反过来，若 f n (x)在 E 上依测度收敛于 f(x)，不能保证 f n (x)在 E 上几乎处 处收敛于 f(x)，请看下述反例： 例４.4.１ f i n (x)＝ ( ]              − ∈ −       − ∈ n i n i x n i n i x , 1 0, 0,1 , 1 1, i=1,2,...,n. 显然 f i n (x) ⇒ n→∞ 0 于(0,1)，但对任意的 x∈(0,1)，对每一个 n，都存在 f i n (x)＝1 同时对每 一个 n，都存在 f i n (x)＝0，从而对任意的 x∈(0,1)，f i n ( x)都不收敛于任何实 数。 但这并不意味着依测度收敛与几乎处处收敛没有任何联系，著名的 F.Riesz 定理反映了它们的内在联系。 定理４.4.２ （F.Riesz 定理）若 f n (x) ⇒ n→∞ f(x)于 E，则ョ子列