→>f(x)a.e于E。 证明因为Ern()-+→r()-U∩UE[rn(x)-()1≥ 于是只须选取f。(x)满足mE[f(x)-f(x)|≥1<1即可保证对vk当i >k时有:<,Efn(x)-f(x)|≥]cE[|fn(x)-f(x)|≥ 0≤m∩UE[f(x)-f(x)|≥]≤m mmU ElIf(x)-f(x)|≥÷], N=l i=N N→i=N ≤lim∑m[f(x)-(x)≥]≤m∑=0,从而m[f,(x) +→f(x)]=0,即f,(x)->f(x)a.e于E。证毕 推论4.4.1若mE<+∞,{f(x)}在E上几乎处处有限且可测,则f(x) f(x)于E分对任意子列fn(x)彐该子列的子列fn(x)>f(x)a.e于 证明“=>”因为f(x)→f(x)于E,所以f(x)→f(x)于E,从而彐 该子列的子列f(x) →f(x)a.e于E。 =”若不然,则彐00,ε0及f(x)满足E[fn(x)-f(x)|≥00]≥ε0, → 由条件知:对此f(x)也彐子列f。(x) →>f(x)a.e于E,即 mE[|fn(x)-f(x)|≥00]→0mn→∞),这与m[f(x)-f(x)≥00≥0矛 盾 作为 Lebesgue定理的应用,我们来进一步研究直线上可测函数的结构。f ni (x) n  → i → ∞ f(x) a.e 于 E。 证明 因为 E[f ni (x) − + →f(x)]＝U ∞ k=1 I ∞ N=1 U ∞ i=N E[|f ni (x)－f(x)|≥ k 1 ] 于是只须选取 f ni (x)满足 mE[|f ni (x)－f(x)|≥ i 1 ]＜ i 2 1 即可保证对∀ k 当 i ＞k 时有： i 1 ＜ k 1 ，E[|f ni (x)－f(x)|≥ k 1 ]⊂ E[|f ni (x)－f(x)|≥ i 1 ]， 0≤m I ∞ N=1 U ∞ i=N E[|f ni (x)－f(x)|≥ k 1 ]≤ N→∞ lim mU ∞ i=N E[|f ni (x)－f(x)|≥ k 1 ], ≤ ∑ ∞ = →∞ i N N lim mE[|f ni (x)－f(x)|≥ i 1 ]≤ ∑ ∞ = →∞ i N N lim i 2 1 ＝0，从而 mE[f ni (x) − + →f(x)]＝0，即 f ni (x) n  → i → ∞ f(x) a.e 于 E。证毕 推论４.4.１ 若 mE＜＋∞，{f n (x)}在 E 上几乎处处有限且可测，则 f n (x) ⇒ n→∞ f(x)于 E⇔ 对任意子列 f ni (x)ョ该子列的子列 f j ni (x)  →ni j →∞ f(x) a.e 于 E。 证明 “＝>”因为 f n (x) ⇒ n→∞ f(x)于 E，所以 f ni (x)⇒ ni→∞ f(x)于 E，从而ョ 该子列的子列 f j ni (x)  →ni j →∞ f(x) a.e 于 E。 “<＝” 若不然，则ヨσ0 ,ε0及 f ni (x)满足 E[|f ni (x)-f(x)|≥σ0 ]≥ε0， 由条件知：对此 f ni (x)也ョ子列 f j ni (x)  →ni j →∞ f(x) a.e 于 E，即 mE[|f j ni (x)-f(x)|≥σ0 ]→0(n j i →∞)，这与 mE[|f ni (x)-f(x)|≥σ0 ]≥ε0矛 盾。 作为 Lebesgue 定理的应用，我们来进一步研究直线上可测函数的结构