定理4.4.3设E∈(-∞,+∞)且f在E上几乎处处有限,则f在E上可测分 彐gn∈C(-∞,+∞),gn(x) →f(x)a.e于E。且|gn(x)|≤sup{|f(x)| x∈E} 证明“=>”由鲁津定理知:对任意n有fn∈C(-∞,+∞)满足mE[fn≠f] 1,且|gn(x)|≤sup{|f(x)||x∈E},则f,(x)=f(x)于E,由.Resz n 定理知:3子列f。(x) →f(x)a.e于E,取g,(x)=fn(x)即可 “<=”显然。证毕 第四章 习题 1.证明:f(x)在E上可测<=>对任意有理数rE[f>r]可测。如果任意有理数r, E[f=r]可测,问f(x)是否在E上一定可测? 2.若f在[a,b]上单调,则f在[a,b]上可测 3.设{f(x)}为E上的可测函数列,证明它的收敛点集和发散点集都是可测集。 4设不可测集E[0,1,令f(x)≈1x∈E 1x∈y-2,问f(x)是否在[0,1上可 测?f(x)是否在[0,1上可测? 5.设皿E<+∞,f(x)(n=1,2,,)是定义在E上的几乎处处有限的可测函数列, 而fn(x)几乎处处收敛于有限函数f(x),则对yε>0,彐常数c与可测子集 E∈E满足m(E-E)<E,|fn(x)|≤C(x∈E,n=1,2,,, 6.设f(x)是(一∞,+∞)上的连续函数,g(x)为[a,b]上的可测函数,则f[g(x)] 为[a,b]上的可测函数。定理４.4.３ 设 E⊂ (-∞,+∞)且 f在 E上几乎处处有限，则 f在 E上可测⇔ ョ g n ∈C(-∞,+∞)，g n (x) n  →→ ∞ f(x) a.e 于 E。且|g n (x)|≤sup｛|f(x)|｜ x∈E｝ 证明 “＝>” 由鲁津定理知：对任意 n 有 f n ∈C(-∞,+∞)满足 mE[f n ≠f] ＜ n 1 ，且|g n (x)|≤sup｛|f(x)|｜x∈E｝，则 f n (x)＝>f(x)于 E，由 F.Riesz 定理知：ョ子列 f ni (x) n  → i → ∞ f(x) a.e 于 E，取 g i (x)＝f ni (x)即可。 “<＝”显然。证毕 第四章 习 题 1.证明：f(x)在 E 上可测<＝>对任意有理数 r E[f＞r]可测。如果任意有理数 r， E[f＝r]可测，问 f(x)是否在 E 上一定可测？ 2.若 f 在[a,b]上单调，则 f 在[a,b]上可测。 3.设｛f n (x)｝为 E 上的可测函数列，证明它的收敛点集和发散点集都是可测集。 4.设不可测集 E⊂ [0,1]，令 f(x)＝  [ ]   − ∈ − ∈ 1, 0,1 , 1, x E x E ， 问 f(x)是否在[0,1]上可 测？|f(x)|是否在[0,1]上可测？ 5.设 mE＜＋∞，f n (x)(n=1,2,...,)是定义在 E上的几乎处处有限的可测函数列， 而 f n (x)几乎处处收敛于有限函数 f(x)，则对∀ ε＞0，ョ常数 c 与可测子集 E 0 ⊂ E 满足 m(E－E 0 )＜ε，|f n (x)|≤C (x∈E,n=1,2,...,) 6.设 f(x)是(－∞，＋∞)上的连续函数，g(x)为[a,b]上的可测函数，则 f[g(x)] 为 [a,b]上的可测函数