Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU 证明 补充说明上式中如果令P→0,则有()d=°g(t) 可以用来计算[(d形的积分,例如 ⅳv.卷积定理:如果可(P)台(1)页(P)>Q2(t),则 页((P)分9()m(-对x=(-(d 证明 p(r)p, (t-tdr ()p2 (t-rldr edr 这个先积τ、后积t的二次积分, 其积分区域如图所示,改变积分次序, 上式成为 作变量代换u=t-r,且t=r时u=0(即位移常量r) ∫cc-yr=(xro (P)吗2(P) dO=(t-1") 平面波e"的FT为δ函数,其定义为 f()5(t-t)dt=f() f()= f(oje d ii. Consider f(1)=0()H(t)e-“,其FI:Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 10 证明：   0 0 0 ( )d ( ) d d ( ) d d ( ) d . zt zt p p p pt z z t e t z t e z t t t e t t t                                     [补充说明]上式中如果令 p 0 ，则有      0 0 d ( ) ( )d t t t z z   ， 可以用来计算   0 d ( ) t t f t 形的积分，例如： 2 0 0 sin 1 d d . 1 2 t t p t p         iv. 卷积定理：如果 ( ) ( ), ( ) ( ) 1 1 2 2  p  t  p  t ，则 1 2 1 2 1 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) ( )d . t t             p p t t       证明：             0 0 1 2 0 1 2 ( ) ( )d d ( ) ( )d t e t t pt t t           这个先积、后积 t 的二次积分， 其积分区域如图所示，改变积分次序， 上式成为 1 2 1 2 0 0 ( ) ( )d ( ) ( ) d d . t pt t t e t                           作变量代换 u  t  ，且 t  时 u  0 （即位移常量  ）     1 2 1 2 0 0 0 1 2 ( ) ( ) d d ( ) d ( ) d . pt p pu t e t e u e u p p                                   ⅰ. 1 ( ')d ( ') 2 ( ) ( ')d ( '). i t t e t t f t t t t f t                        平面波 i t e  的 FT 为  函数，其定义为 ⅱ. 1 ( ) ( ) d , 2 1 ( ) ( ) d . 2 i t i t f f t e t f t f e                          ⅲ. Consider ( ) ( ) ( ) st f t t H t e    ，其 FT：