1.极大似然估计的统计思想 例3口袋中的黑棋子所占的比例为0.1或0.9,从中任取一个棋子为白子,问黑棋子的比例为多少? 解:设黑子比例为p,用A表示取白子,则取到白子的概率为P(A)=1-p,当p=0.1时P(A)=1p=0.9 当p=0.9时P(A)=1-p=0.1,由于作一次试验取白子事件A就发生了,所以A是大概率事件,因此p 应是使A概率很大的值,由此得到极大似然估计的统计思想:参数θ应该是使在一次试验中就发生 的事件概率很大的值 2.极大似然函数、极大似然估计定义 总体为X,ⅪY,…M是总体X的一个样本,xx2,…xn是相应的样本观测值, O=(0,O2,…O4)为待估参数,参数的可能取值全体称为参数空间。参数空间记为e 若总体X为离散型随机变量,分布律为P{X=x}=x,),x∈R则 PX1=x,X2=x2…,Xn=xn}=∏f(x,) 称6中使PX1=x,X2=x2,…,Xn=xn}达到最大的6=0(x1,…,xn)为0的极大似然估计值 若总体X为连续型随机变量,密度函数为fx,B),x∈R则 d d d d Pix <X,<x1+—,x <X2<x2+, Xn<xn+}=d∏f(x, 称e中使∏f(x,O)达到最大的a=(x,…x)为0的极大似然估计值 令L(x,…,x,O)=∏f(x,)称其为似然函数 称e中使L(x1…,xn,O)= (x,O)达到最大的=6(x…x)为θ的极大似然估计值,称 6=6(X1,…,xn)为0的估计量 3.极大似然估计的步骤 (1)写出总体的X的分布律或概率密度函数fx,日)1． 极大似然估计的统计思想 例3 口袋中的黑棋子所占的比例为0.1或0.9，从中任取一个棋子为白子，问黑棋子的比例为多少？ 解：设黑子比例为 p，用 A 表示取白子，则取到白子的概率为 P(A)=1-p，当 p=0.1 时 P(A)=1-p=0.9； 当 p=0.9 时 P(A)=1-p =0.1,由于作一次试验取白子事件 A 就发生了，所以 A 是大概率事件，因此 p 应是使 A 概率很大的值，由此得到极大似然估计的统计思想：参数θ应该是使在一次试验中就发生 的事件概率很大的值 2． 极大似然函数、极大似然估计定义 总体为 X ， X1,X2,…,Xn 是总体 X 的一个样本， x1,x2,…,xn 是相应的样本观测值 , ( , , , )  = 1  2   k 为待估参数，参数的可能取值全体称为参数空间。参数空间记为  若总体 X 为离散型随机变量，分布律为 P{X=x}=f(x,θ),x∈R 则 = = = = = n i n n i P X x X x X x f x 1 1 1 2 2 { , ,, } ( , ) 称  中使 { , , , } 1 1 2 2 n n P X = x X = x  X = x 达到最大的 ( , , ) ˆ ˆ 1 n  = x  x 为θ的极大似然估计值 若总体 X 为连续型随机变量，密度函数为 f(x,θ), x∈R 则 = −   + −   + −   + = n i i n n n n d f x d X x d x d X x d x d X x d P x 1 1 1 1 2 2 2 } ( , ) 2 2 , , 2 2 , 2 2 {   称  中使 = n i i f x 1 ( , ) 达到最大的 ( , , ) ˆ ˆ 1 n  = x  x 为θ的极大似然估计值 令  称其为似然函数 = = n i n i L x x f x 1 1 ( ,, , ) ( , ) 称  中使 = = n i n i L x x f x 1 1 ( ,, , ) ( , ) 达到最大的 ( , , ) ˆ ˆ 1 n  = x  x 为θ的极大似然估计值，称 ( , , ) ˆ ˆ  = X1  X n 为θ的估计量 3． 极大似然估计的步骤 （1）写出总体的 X 的分布律或概率密度函数 f(x,θ)