线连结其外边界L上的点M和内边界l上的点N,它把D割成一个单连通区域。 沿其边界的正向作积分,利用单连通区域的 Green公式 +odi ∫+b=nh+Qb 当D中有更多个“洞”的情况也可类似证得,不再赘述 证毕 Green公式的一个直接应用,是可以由它导出用曲线积分计算平面区域面积 的关系式。 推论8.8.1设D为一有界平面区域,其边界为分段光滑的闭曲线,则D的 面积为 A=xdy d dy-ydx, 其中OD取正向。 例8.8.1计算椭圆x+=1(a>0,b>0)所围区域的面积 解椭圆L: 1的参数方程为 x=acos e 0≤b<2丌, y=bsin 8 设其定向取逆时针方向。于是, A=lxdy-ydx (abcs 0+absin 0)de b d0= nab 例8.8.2计算曲线积分 y 其中L是圆周x2+y2=4,定向取逆时针方向 解由Gren公式 (4y-x+x+1)dx+(8x-e os)dy (8x-ey)a(4y-√x3+x+1) Cx =‖(8-4)ddy=16丌。 例8.8.3计算e-dxdy,其中D是以OO,0),A(,1),B(O,1)为顶点的 三角形区域(图8.84) 解令P=0,O=xe-)2,则线连结其外边界 L 上的点 M 和内边界 l 上的点 N ，它把 D 割成一个单连通区域。 沿其边界的正向作积分，利用单连通区域的 Green 公式                                D L M N l NM dxdy Pdx Qdy y P x Q                  L l D Pdx Qdy Pdx Qdy。 当 D 中有更多个“洞”的情况也可类似证得，不再赘述。 证毕 Green 公式的一个直接应用，是可以由它导出用曲线积分计算平面区域面积 的关系式。 推论 8.8.1 设 D 为一有界平面区域，其边界为分段光滑的闭曲线，则 D 的 面积为            D D D A xdy ydx xdy ydx 2 1 ， 其中 D 取正向。 例 8.8.1 计算椭圆 1 2 2 2 2   b y a x （ a  0 ，b  0 ）所围区域的面积。 解 椭圆 L ： 1 2 2 2 2   b y a x 的参数方程为      sin , cos ,   y b x a 0    2 ， 设其定向取逆时针方向。于是，           2 0 2 2 ( cos sin ) 2 1 2 1 A xdy ydx ab ab d L d ab ab       2 2 0 。 例 8.8.2 计算曲线积分 y x x dx x e dy y L (4 1) (8 ) 3 cos       ， 其中 L 是圆周 4 2 2 x  y  ，定向取逆时针方向。 解 由 Green 公式 y x x dx x e dy y L (4 1) (8 ) 3 cos                            4 cos 3 2 2 (8 ) (4 1) x y y dxdy y y x x x x e = (8 4) 16 4 2 2    x y  dxdy 。 例 8.8.3 计算   D y e dxdy 2 ，其中 D 是以 O(0, 0)， A(1,1) ， B(0, 1) 为顶点的 三角形区域（图 8.8.4）。 解 令 P  0， 2 y Q xe   ，则