取∂D的定向逆时针方向,则由 Green公式得 xav= e O 例8.8.4计算第二类曲线积分 图884 ∫e'smy-m)+(2cosy-m 其中L为圆(x-a)2+y2=a2(a>0)的上半圆周部分,方向为从点A2a,0), 到原点O0,0)(图885)。 解为了使用 Green公式以简化运算,作自O至A的有向线段OA,把L与 OA合并就得一条定向为逆时针方向的有向闭曲线, 记其所围区域为D。利用 Green公式可得 (e sin y-mry )dx +(e cos y-m)a (e cos y-m)-(e sin y-mry) dxdy =middy= 图885 再计算沿OA的曲线积分,因为OA的方程为y=0,x:0→2a,所以 ∫esmy-m)k+( (e cos y-m)hy=。0d+0=0 代入前面的式子即得 mza I(e sin y-mmy )dx+(e cos y-m)dy= 例885计算曲线积分/=的二,其中L为一条分段光滑,且不经 过原点的简单闭曲线(即不自交的闭曲线),方向为正向。 解记P= 。当x2+y2≠0时,P,Q及其一阶偏导 数均连续,且 L所围的区域D不包含原点时,由 Green公式知,I=0。 当L所围的区域D包含原点时,取适当小的r>0,使圆周l:x2+y2=r2位 于D内,以逆时针方向作为l的正向。于是,由L和/所围的复连通区域D1不包 含原点。D1的边界是有向闭曲线L∪,其中与l方向相反。由 Green公式,2 y e y P x Q        。 取 D 的定向逆时针方向，则由 Green 公式得       D D y y e dxdy xe dy 2 2 xe dy OA y    2            e xe dx x 1 1 2 1 1 0 2 。 例 8.8.4 计算第二类曲线积分     L x x (e sin y my)dx (e cos y m)dy， 其中 L 为圆 2 2 2 (x  a)  y  a （ a  0 ）的上半圆周部分，方向为从点 A(2a, 0)， 到原点 O(0, 0) （图 8.8.5）。 解 为了使用 Green 公式以简化运算，作自 O 至 A 的有向线段 OA ，把 L 与 OA 合并就得一条定向为逆时针方向的有向闭曲线， 记其所围区域为 D 。利用 Green 公式可得 e y my dx e y m dy x x L O A ( sin  )  ( cos  )                          D x x e y my dxdy y e y m x ( cos ) ( sin )    D m a m dxdy 2 2  。 再计算沿 OA 的曲线积分，因为 OA 的方程为 y  0， x : 0  2a ，所以     O A x x (e sin y my)dx (e cos y m)dy= 0 0 0 2 0    a dx 。 代入前面的式子即得 2 ( sin ) ( cos ) 2 m a e y my dx e y m dy L x x       。 例 8.8.5 计算曲线积分     L x y xdy ydx I 2 2 ，其中 L 为一条分段光滑，且不经 过原点的简单闭曲线（即不自交的闭曲线），方向为正向。 解 记 2 2 x y y P    ， 2 2 x y x Q   。当 0 2 2 x  y  时， P ，Q 及其一阶偏导 数均连续，且 y P x y y x x Q         2 2 2 2 2 ( ) 。 当 L 所围的区域 D 不包含原点时，由 Green 公式知， I  0。 当 L 所围的区域 D 包含原点时，取适当小的 r  0 ，使圆周 l ： 2 2 2 x  y  r 位 于 D 内，以逆时针方向作为 l 的正向。于是，由 L 和 l 所围的复连通区域 D1 不包 含原点。 D1 的边界是有向闭曲线  L l ，其中  l 与 l 方向相反。由 Green 公式， y B A O x 图 8.8.4 x O y A 图 8.8.5