因为l的参数方程为x= rcos t,y=rsnt,所以 xdy-ydx r xdy- ydx 2x rcost.rcost-rsin t(-rsint) coS t+r- t 在这个例子中利用 Green公式来改变积分路径的方法,在下一节还将加以讨 论 Green公式可以看作 Newton- Leibniz公式在二维空间的推广。为说明这一点 设∫在[ab]上具有连续导函数,g=[a,b×[0,1(其图形的四个定点依次记为A, B,C,D,见图886)。利用 Green公式可得 ∫f(x)y=jf(x)y 即得 ∫(x)dx=dJ,f(xk ff(x)dy 图8.86 If(x )dy ∫。)h+∫;f(a)b=f(b)-f(a) 这就是 Newton- Leibniz公式 二. Stokes公式 在 Green公式基础上建立起来的 Stokes公式,揭示了第二类曲面积分与以 该曲面边界曲线为路径的第二类曲线积分之间的内在关系,可视作 Green公式的 个自然推 设∑是具有分段光滑边界的光滑的有向曲面,今按右手规则确定∑的边界 DΣ的定向:即右手的四指按Σ的正向弯曲时,姆指指向Σ的法向。称DΣ的这 个定向为∑的诱导定向 定理8.8.2( Stokes公式)设Σ为光滑的有向曲面,其边界∂Σ为分段光滑 闭曲线。如果三元函数P,Q,R在Σ及其边界上具有连续一阶偏导数,则 「Pdx+Qh+R dyd=+ d=dx+og dxdy0 2 2               x y xdy ydx L l ， 即          L l x y xdy ydx x y xdy ydx 2 2 2 2     l x y xdy ydx 2 2 。 因为 l 的参数方程为 x  r cost ， y  rsin t ，所以        L l x y xdy ydx x y xdy ydx 2 2 2 2 dt r t r t r t r t r t r t       2 0 2 2 2 2 cos sin cos cos sin ( sin )   2 2 0    dt 。 在这个例子中利用 Green 公式来改变积分路径的方法，在下一节还将加以讨 论。 Green 公式可以看作 Newton-Leibniz 公式在二维空间的推广。为说明这一点， 设 f 在 [a,b] 上具有连续导函数，   [a, b][0,1] （其图形的四个定点依次记为 A ， B ，C ， D ，见图 8.8.6）。利用 Green 公式可得     f (x)dxdy  f (x)dy， 即得       b a b a f (x)dx dy f (x)dx 1 0 f x dy AB BC CD DA ( )                 f x dy BC DA ( )                0 1 1 0 f (b)dy f (a)dy  f (b)  f (a) 。 这就是 Newton-Leibniz 公式。 二．Stokes 公式 在 Green 公式基础上建立起来的 Stokes 公式，揭示了第二类曲面积分与以 该曲面边界曲线为路径的第二类曲线积分之间的内在关系，可视作 Green 公式的 一个自然推广。 设  是具有分段光滑边界的光滑的有向曲面，今按右手规则确定  的边界  的定向：即右手的四指按  的正向弯曲时，姆指指向  的法向。称  的这 个定向为  的诱导定向。 定理 8.8.2 (Stokes 公式) 设  为光滑的有向曲面，其边界  为分段光滑 闭曲线。如果三元函数 P ，Q， R 在  及其边界上具有连续一阶偏导数，则   Pdx  Qdy  Rdz                                           dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R y O x D C A B 图 8.8.6