aP aR ay o=cos(n, )+ cos(n, y)+ cos(n, =)ds ay 其中∂Σ按诱导定向 证为避免复杂的论述,只讨论曲面∑可以同时 作如下三种描述的情况,即 ∑={(x,y,2)|=x(x,y),(x,y)∈Σn} (x,y,=)|y=y(二,x),(,x)∈∑} ={(x,y,)|x=x(y,)(y)∈E} 不失一般性,设∑的定向取作上侧(见图887)。 先把空间R3中沿②的第二类曲线积分x ∫P(xy)化为平面上沿CE的第二类曲线积分, 图8.87 再应用 Green公式化为二重积分得 「P(x,y.)dx=「P(x,y,x(x,y)d=-(P+P=)dd。 注意到∑上侧的法向量n的方向余弦为 cos(n, x) cos(n,y)= cos(n,二)= h+2+2 从而有向面积微元的投影间满足关系 = dxdy=-=cos(n, =)dS= cos(n, y)ds=dzdx 再把前面得到的二重积分转化为第二类曲面积分,则有 ∫p(xy.=(xy)d=P(x ∫(xy,(xy)=(xy)by=』(xy2)(x,ydy P(x, y, =)dzdx 因此, P(,y,=dx=-(P+P=')dxdy=l P'drdx-P'dxdy 同理可证 dy=0= ∫R(x,y,)=』hdt-R!dzdx 三式相加,即得 Stokes公式。 证毕 注对Σ是Oxy平面上区域的特殊情况, Stokes公式就是Gren公式 为便于记忆,定理中 Stokes公式用第二类曲面积分和第一类曲面积分描述 的两种形式又可分别表示为                                                z d S y P x Q y x R z P x z Q y R cos(n, ) cos(n, ) cos(n, ) ， 其中  按诱导定向。 证 为避免复杂的论述，只讨论曲面  可以同时 作如下三种描述的情况，即 {( , , )| ( , ),( , ) }xy   x y z z  z x y x y  {( , , )| ( , ),( , ) }z x  x y z y  y z x z x  {( , , )| ( , ),( , ) }yz  x y z x  x y z y z  。 不失一般性，设  的定向取作上侧（见图 8.8.7）。 先把空间 3 R 中 沿  的 第 二 类 曲 线 积 分   P(x, y,z)dx 化为平面上沿 xy 的第二类曲线积分， 再应用 Green 公式化为二重积分得      xy P(x, y,z)dx P(x, y,z(x, y))dx         xy P P z dxdy y z y ( ) 。 注意到  上侧的法向量 n 的方向余弦为： 2 2 1 cos( , ) x y x z z z x       n  ， 2 2 1 cos( , ) x y y z z z y       n  ， 2 2 1 1 cos( , ) x y z z z     n  ， 从而有向面积微元的投影间满足关系  z  ydxdy  z  y cos(n,z)dS  cos(n, y)dS  dzdx。 再把前面得到的二重积分转化为第二类曲面积分，则有     P x y z x y dxdy  P x y z dxdy y y xy ( , , ( , )) ( , , ) ，     P x y z x y z  x y dxdy  P x y z z  x y dxdy z y z y xy ( , , ( , )) ( , ) ( , , ) ( , )     P x y z dzdx z ( , , ) 。 因此，           xy P x y z dx P P z dxdy y z y ( , , ) ( )    Pdzdx Pdxdy z y 。 同理可证     Q x y z dy  Qdxdy Qdydz x z ( , , ) 。     R x y z dz  R dydz Rdzdx y x ( , , ) 。 三式相加，即得 Stokes 公式。 证毕 注 对  是 Oxy 平面上区域的特殊情况，Stokes 公式就是 Green 公式。 为便于记忆，定理中 Stokes 公式用第二类曲面积分和第一类曲面积分描述 的两种形式又可分别表示为 z O x y Σ  Σ xy 图 8.8.7