dydz dEx dxdy fEdex+Ody+Rd== aa a P O R cos(n, x)cos(n, y) cos(n,=) P Q R 上述积分号后两个行列式均应按第一行展开,并把与Q的“乘积”理解为2 等等 例8.8.6计算第二类曲线积分 32dx+5xdy-2vdz 其中L是平面y+z=2和圆柱面x2+y2=1的交线,顶 视为逆时针走向(图888) 解法一取Σ为平面y+z=2被圆柱面x2+y2=1 截得的椭圆盘,定向为上侧。由 Stokes公式得 dvds dzdx dxd 图888 =a-2)-20s)b+a3)-2(2)+205-032)p =[(2)dyd=+3d=dx+5dxdy 由于Σ的方程为z=2-y,定向为上侧,此时==0,==-1,从而 (-2)dy+3dadx+5ddy=‖I(-2)×0+3×1+5]xd =8| dxdy=8丌 x 于是 3dx+5xd-2ydz=8丌。 解法二取Σ为平面y+z=2被圆柱面x2+y2=1截得的椭圆盘,按上侧取单 位法向量 n +k ∑的边界,即L,是一个椭圆,其长轴在平面x=0上,位于长轴的两个顶点分 别为(01,1)和(O,-1,3)。因而长半轴为√2,又易知其短半轴为1,故而这个椭 圆的面积为√2丌。             P Q R x y z dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz dS P Q R x y z x y z          cos(n, ) cos(n, ) cos(n, ) 。 上述积分号后两个行列式均应按第一行展开，并把 x  与 Q 的“乘积”理解为 x Q   等等。 例 8.8.6 计算第二类曲线积分    L 3zdx 5xdy 2ydz， 其中 L 是平面 y  z  2 和圆柱面 1 2 2 x  y  的交线，顶 视为逆时针走向（图 8.8.8）。 解法一 取  为平面 y  z  2 被圆柱面 1 2 2 x  y  截得的椭圆盘，定向为上侧。由 Stokes 公式得    L 3zdx 5xdy 2ydz           z x y x y z dydz dzdx dxdy 3 5 2                                         dxdy y z x x dzdx x y z z dydz z x y ( 2y) (5 ) (3 ) ( 2 ) (5 ) (3 )    (2)dydz 3dzdx 5dxdy 由于  的方程为 z  2  y，定向为上侧，此时 z  x  0 ， z  y  1 ，从而               1 2 2 ( 2) 3 5 [( 2) 0 3 1 5] x y dydz dzdx dxdy dxdy 8 8 1 2 2    x y  dxdy 。 于是 3  5  2  8  L zdx xdy ydz 。 解法二 取  为平面 y  z  2 被圆柱面 1 2 2 x  y  截得的椭圆盘，按上侧取单 位法向量 ( ) 2 1 n  j  k 。  的边界，即 L ，是一个椭圆，其长轴在平面 x  0 上，位于长轴的两个顶点分 别为 (0, 1, 1) 和 (0, 1, 3) 。因而长半轴为 2 ，又易知其短半轴为 1，故而这个椭 圆的面积为 2 。 x O y L z Σ 图 8.8.8