由 Stokes公式 3=dx+5xdy-2yda cos(n, x)cos(n, y) cos(n,= a2/0+c3=)a(-2y) a(-2y)a(5x) (5x)O(3-) √2d5s=42vz 例8.8.7计算第二类曲线积分 y Ddx+( 其中L为平面x+y+z=1被三个坐标平面所截的三角形Σ的边界,顶视为逆时针 方向(图889)。 解∑位于平面x+y+=1上,其法向量的三个方向余弦均为—,又易知 ∑的面积为。 由 Stokes公式可得 IG cos(n,x)cos(n,y)cos(n,=) S Oy y 图889 ∫(+)conx)+(x+)cosny)+(x+y)csn)S 4 (x+y+=)ds 例8.8.8计算第二类曲线积分 J(x'-ya)dx+(y-x=)dy+(=-xy) 其中曲线C是螺旋线x=aco,y=asn,x=0(0≤0≤2x)上自点 A(a,0,0)到点Ba,0,h)的一段弧(图88.10)。 解有向曲线C和有向直线BA构成一个分段光滑的闭曲线,记以这条闭曲 线为边界、任意选取的一个光滑闭曲面为∑,并取∑的定向符合右手定则。于是 (--xa)dy+(=-xy)dz由 Stokes 公式    L 3zdx 5xdy 2ydz dS z x y x y z x y z           3 5 2 cos(n, ) cos(n, ) cos(n, )                                                d S y z x x x y z z z x y y 2 (5 ) (3 ) 1 2 (3 ) ( 2 ) 1 0 ( 2 ) (5 ) 4 2 4 2 2 8 2 3 5           dS dS 。 例 8.8.7 计算第二类曲线积分       L (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 ， 其中 L 为平面 x  y  z 1 被三个坐标平面所截的三角形  的边界，顶视为逆时针 方向（图 8.8.9）。 解  位于平面 x  y  z 1 上，其法向量的三个方向余弦均为 3 1 ，又易知  的面积为 2 3 。 由 Stokes 公式可得       L (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 dS y z z x x y x y z x y z             2 2 2 2 2 2 cos(n, ) cos(n, ) cos(n, ) y z x x z y x y z dS    2 [(  )cos(n, )  (  )cos(n, )  (  )cos(n, )]       x  y  z dS   dS 3 4 ( ) 3 4 2 2 3 3 4      。 例 8.8.8 计算第二类曲线积分       C (x yz)dx ( y xz)dy (z xy)dz 2 2 2 ， 其中曲线 C 是螺旋线 x  a cos ， y  asin ， (0 2 ) 2        h z 上自点 A(a, 0, 0) 到点 B(a, 0, h) 的一段弧（图 8.8.10）。 解 有向曲线 C 和有向直线 BA 构成一个分段光滑的闭曲线，记以这条闭曲 线为边界、任意选取的一个光滑闭曲面为  ，并取  的定向符合右手定则。于是 x yz dx y xz dy z xy dz C B A ( ) ( ) ( ) 2 2 2                y x O z 图 8.8.9