第二章多元函数微分学 aF(Mo) aE y=yo t OF(Mo) 另外,设在M0(x02y0,=0)有 radF(M0)≠0,即三个偏导数 OF(Mo) aF(Mo OF(Mo 中至少 有一个不为零时,不妨设(MD≠0,这时由隐函数定理可以推出在 (x0,yo)的某个邻域U中唯一地定义了一个函数z=f(x,y),满足 z0=f(x,y)F(x,y,f(x,y)≡0(x,y)∈U/),由隐函数微分法得 g(o,yo) OF(Mo)/OF(Mo) ax g(xo,yo)-0F(Mo)/F(Mo 这时可以利用了函数显示表示下切平面的结果推达上述结论。 =x(s, t) 若曲面S由参数方程{y=ys,1)(s,1)∈DsR2表示 若记F=(x,y,z),则上式的向量形式为 r=r(s, t=(x(s, O),y(s, 0),=(s, t)) 设M0(x0,y,2z0)=(x(o,.0y(t,so)=(t,so)是S上的一点,当 固定1=0时,方程{y=y(s,l0)确定了曲面S上的一条曲线, z=二(S 它在M。处的切向量是 ax(so, to)Oy(so, t,)0:so, to) s s s x(so, t) 同样地,方程{y=y(s0,)确定了曲面S上的另一条曲线,它在 点M0处的切向量是 dx(so, to)ay(so, to)d=So, to) ) t t t 若这两个向量不共线的条件下,曲面S在M0处的法向量是 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 或          = + = + = + t z F M z z t y F M y y t x F M x x       ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 另外，设在 ( ) 0 0 0 0 M x , y ,z 有 gradF(M 0 )  0 ，即三个偏导数 z F M y F M x F M       ( ) , ( ) , ( )0 0 0 中至少 有一个不为零时，不妨设 0 ( )0  z F M   ，这时由隐函数定理可以推出在 ( , ) 0 0 x y 的某个邻域 U 中唯一地定义了一个函数 z = f (x, y) ，满足 ( , ), ( , , ( , )) 0 (( , ) ) z0 = f x0 y0 F x y f x y  x y U , 由隐函数微分法得 z F M x F M x f x y       ( , ) ( ) ( ) 0 0 0 0 = − , z F M y F M y f x y      ( , ) ( ) ( ) 0 0 0 0  = − 这时可以利用了函数显示表示下切平面的结果推达上述结论。 ⚫ 若曲面 S 由参数方程 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) s t D R z z s t y y s t x x s t        = = = 表示 若记 T r = (x, y,z)  ，则上式的向量形式为 T r = r(s,t) = (x(s,t), y(s,t),z(s,t))   设 ( , , ) ( ( , ), ( , ), ( , )) M0 x0 y0 z0 = x t0 s0 y t0 s0 z t0 s0 是 S 上的一点，当 固定 t=t0 时，方程      = = = ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 z z s t y y s t x x s t 确定了曲面 S 上的一条曲线， 它在 M 0 处的切向量是 T s z s t s y s t s x s t v ) ( , ) , ( , ) , ( , ) ( 0 0 0 0 0 0 1       =  同样地，方程      = = = ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 z z s t y y s t x x s t 确定了曲面 S 上的另一条曲线，它在 点 M0 处的切向量是 T t z s t t y s t t x s t v ) ( , ) , ( , ) , ( , ) ( 0 0 0 0 0 0 2       =  若这两个向量不共线的条件下，曲面 S 在 M0 处的法向量是