第二章多元函数微分学 x(t0) 证:若曲线L:{y=y)是曲面S上过点P=|y =f(x()y() 0)(=(n) 其中=0=f(x()y(0)的光滑曲线,即函数x()y()在t0可导。 现在要证明,此曲线L过P的切线在平面丌 9(cn(-x)+91x,y1-y)-(-)=0 上。其法线方向是:成()= af(p) a(p) 事实上,曲线L在P处的切线向量是 f()=|x)yt) af(p) f( ax x(o)+y(o 显然有:成(t0)(t0)=0→()⊥r() 即:曲线L过P的切线在平面丌。上 实际上,函数表示z=f(x,y)在点p(xny0)可微是曲面S在点 p(x0,y0)有不平行z轴的切平面的充分必要条件。 (ii)用隐函数和参数方程表示的曲面S的切平面方程: 若曲面S由隐函数F(x,y2)=0表示, 过P的曲线为:{y=y()→F(()y()()=0, ( 两边求微分: aF(x,y.2)d(0)+ d()+2(xy:) (t)=0 x()+-y()+-()=0 →n aF(x,y, = )aF(x,y, =)aF(x,y, 3) →曲面S过(x0,y0=0)切平面方程 ∂F(x0,y0,=0 xo)+ Vo ∂F(x0,y0, 0)=0 法线方程是:a(n,0,-=a(x,)=F(元,1n, 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 证：若曲线 L : ( ) ( ) ( ( ) ( ))      = = = z f x t y t y y t x x t , 是曲面 S 上过点 ( ) ( ) ( )           =           0 0 0 0 0 0 z t y t x t z y x P , 其中 ( ( ) ( )) 0 0 0 z = f x t , y t 的光滑曲线, 即函数 x(t), y(t) 在 0 t 可导。 现在要证明，此曲线 L 过 P 的切线在平面  p : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , 0 0 0 0 0 0 − − − =   − +   y y z z y f x y x x x f x y 上。其法线方向是： ( ) ( ) ( )         −     0 = 1 y f p x f p n t  事实上，曲线 L 在 P 处的切线向量是: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )             +   =   0 0 0 0 0 y t y f p x t x f p  t x t y t  . 显然有: n(t 0 ) (t 0 ) = 0    ( ) ( ) 0 0 n t  t   ⊥ , 即：曲线 L 过 P 的切线在平面  p 上。 实际上，函数表示 z = f (x, y) 在点 ( ) 0 0 p x , y 可微是 曲面 S 在点 ( ) 0 0 p x , y 有不平行 z 轴的切平面的充分必要条件。 (ii) 用隐函数和参数方程表示的曲面 S 的切平面方程： ⚫ 若曲面 S 由隐函数 F(x, y,z) = 0 表示, 过 P 的曲线为： ( ) ( ) ( )      = = = z z t y y t x x t  F(x(t), y(t),z(t))  0, 两边求微分： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , , ,    +   +   dz t x F x y z dy t x F x y z dx t x F x y z ( ) ( ) ( ) = 0    +    +   z t x F y t x F x t x F  ( ) ( ) ( )               = z F x y z y F x y z x F x y z n  , , , , , ,  曲面 S 过 ( ) 0 0, 0 x , y z 切平面方程 ( ) ( ) ( ) ( − )+   − +   0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , y y y F x y z x x x F x y z ( ) ( ) 0 , , 0 0 0 0 − =   + z z z F x y z 法线方程是: ( ) ( ) ( ) z F x y z z z y F x y z y y x F x y z x x   − =   − =   − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , ,