第二章多元函数微分学 (B)空间曲面的切平面: 下面讨论两个问题 其一,曲面在一点的切平面是如何定义的? 其二,如何求曲面上在一点的切平面方程 定义设S是一张空间曲面,P是S上的一点,若所有过P且在 曲面S上的曲线在P处的切线共面,则称此平面为曲面S在P处 的切平面( tangent plane);过P且与切平面垂直的直线称为曲面 S在P处的法线( normal line) 切平面的定义可以有好几种,我们之所以用这一定义,是因为,这 是根据曲面的固有性质,与其方程形式没有关系 而且这样有利于对一般空间推广得到所谓切空间的概念 另外,还有一种较好的定义:设S是一张空间曲面,M是S上的 点,丌是过M点的一张平面,曲面S上任一点Q到平面的距离为 d(Q),若Q→M时,山Q)=opM,则称此平面为曲面S在M处 的切平面 (i)切平面的方程 首先讨论:如果曲面S的切平面的存在,其切平面的方程是什么? 显然,这与曲面的方程表示有关 若曲面S由显函数表示z=f(x,y) 因为,所有在曲面S上过Px,y)的曲线在P处的切线都在切平面 =0 丌上→曲线C={y=y和C2={y=0的切线在x上 z=f(x,y) :=f(, y) 平面丌的法向 =lx12=0 ar(x,y)ar(x,y)o(x afrl →曲面S过P(x0,y0)切平面方程: af(xo, yol(x af(o )+0(y-yn) 其中,z0=f(x0,y) 法线方程是 y-yo (x0,y0)-a/(x0,y0) 接着要研究:函数满足什么条件时,其切平面存在? 若曲面S由显函数表示z=f(x,y)在点p(x,y)可微,则曲面S 在点p(xa,y0)有不平行z轴的切平面 第五节微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor公式第二章 多元函数微分学 第五节 微分学在几何上的应用及多元函数的 Taylor 公式 (B)空间曲面的切平面： 下面讨论两个问题: 其一, 曲面在一点的切平面是如何定义的？ 其二, 如何求曲面上在一点的切平面方程？ ⚫ 定义 设 S 是一张空间曲面， P 是 S 上的一点，若所有过 P 且在 曲面 S 上的曲线在 P 处的切线共面，则称此平面为曲面 S 在 P 处 的切平面(tangent plane)；过 P 且与切平面垂直的直线称为曲面 S 在 P 处的法线(normal line). 切平面的定义可以有好几种，我们之所以用这一定义，是因为，这 是根据曲面的固有性质，与其方程形式没有关系. 而且这样有利于对一般空间推广得到所谓切空间的概念。 另外，还有一种较好的定义：设 S 是一张空间曲面， M 是 S 上的 一点，  是过 M 点的一张平面, 曲面 S 上任一点 Q 到平面的距离为 d(Q), 若 Q → M 时， d(Q)= o(QM ), 则称此平面为曲面 S 在 M 处 的切平面 (i) 切平面的方程 首先讨论：如果曲面 S 的切平面的存在，其切平面的方程是什么？ 显然，这与曲面的方程表示有关。 若曲面 S 由显函数表示 z = f (x, y)： 因为，所有在曲面 S 上过 P(x, y) 的曲线在 P 处的切线都在切平面  上  曲线 ( )      = = = = z f x y y y x C , 0 1 和 ( )      = = = = z f x y y x x C , 2 0 的切线在  上  平面  的法向: ( ) ( ) ( ) ( )         −     =     =  = 1 , , , 1 0 , 1 2 0 1 y f x y x f x y x f x y y f x y i j k n l l        曲面 S 过 ( ) 0 0 0 P x , y 切平面方程: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , y y y f x y x x x f x y z z −   − +   = + , 其中， ( ) 0 0 0 z = f x , y 法线方程是 ( , ) ( , ) 1 0 0 0 0 0 0 0 − − =   − =   − z z y f x y y y x f x y x x 接着要研究：函数满足什么条件时，其切平面存在？ 若曲面 S 由显函数表示 z = f (x, y) 在点 ( ) 0 0 p x , y 可微, 则曲面 S 在点 ( ) 0 0 p x , y 有不平行 z 轴的切平面