144 线性代数重点难点30讲 第25讲线性相关性概念的 进一步讨论(1) 在第9讲中,我们讨论了判断向量组是否线性相关的基本方法线性相关与线性无关 概念既是整个线性代数课程中的重点,更由于其抽象性而成为课程的难点之一下面结合 型例题就线性相关性概念进行较为全面的讨论 向量组的线性相关性的定义是:设向量组a1,a2,…,a1(s≥1),如果存在一组不全为 的数k1,k2,…,k,使得 k1a1+k2x2+…+ka1=0 则称向量组是线性相关的;否则称向量组线性无关,即只有当k1=k2=…=k,=0时, 能使k11+k22+…+ka1=0,或者说,任意一组不全为0的数k1,k2…k,都不能使k1a +k22+…+k1=0成立 该定义是讨论向量组的线性相关性的最根本的依据 例1设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中,n<m,E是n阶单位矩阵,若A =E,试证:B的列向量组线性无关 证设B=(B1,B2,…,B.),其中(=1,2,…,n)是B的第i个列向量.一定有 组数x1,x2,…,xn,使 B1+x2B2+ (B1,B,…p.).=Bx=0.其中x=(x1,x2…,x,) 上式两边左乘A,则得ABx=0,即Ex=0.即 x=(x1,x2,…,xn)=0, 1=x2=…=xn=0,所以由定义知B1,B2,…,B线性无关,即B的列向量组线 性无关 注意本例将向量组B,B2,…,B的线性相关性间题转化为齐次线性方程组Bx=0有 无非零解来讨论,这是一种常用的方法 由此定义,易推出如下的命题: 命题1单个非零向量线性无关