笫24讲矩阵运算方法与技巧(3) 143 102 例11设A是4×3矩阵,且R(A)=2,面B=020,则R(AB)= 解由例2的结论知:对于m×n矩阵A,有 R(PAQ)= P(PA)=R(AQ)=R(A) 其中P为m阶可逆矩阵,Q为n阶可逆矩阵 因|B|=10≠0,故B为三阶可逆方阵,从而 R(AB=R(A=2 故填2 例12设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,则() (A)当m>n时,必有1AB1≠0;(B)当m>n时,必有1AB|=0; (C)当n>m时,必有|AB|≠0;(D)当n>m时,必有|ABl=0 解这里,关键是利用例6的结论:R(AB)≤min{R(A),R(B) AB是m阶方阵,所以总有R(AB)≤m,若R(AB)=m,则AB|≠0;若R(AB)< m,则1AB1=0.从 R(AB)≤min{R(A),R(B)≤n<m, 知:当m>n时,AB不满秩,故|AB|=0,选(B) 下面利用例6的结论判别向量组的线性相关性 例13已知n维向量a1,a2,…,an线性无关,试判别向量组 ax1+gx2,ax2+a3,…,C,-1 anan+a1的线性相关性 解以向量组a1+a2,a2+a3,…,axn1+an,n+a1为行向量构成矩阵B: a+a 110 001a a,+a 00|a B CA 00 因为向量组a1,a2,…,an线性无关,R(A)=n 0,n为偶数; CI=1+(-1)= 2,n为奇数 当n为偶数时,|C=0,R(C)<n,于是 R(B)= R(CA)< R(C), R(A)<n, 向量组a1+a2,a2+a3,…,a-1+an,an+a1线性相关; 当n为奇数时,1C|≠0,R(C)=n,C为n阶可逆矩阵,从而 R(B)= R(CA)=R(A)=n 向量组∝1+a2,a2+a3,…,an1+an,an+a1线性无关