142 线性代数重点难点30讲 由此,有R(AB)=R(C.) 又易知任一矩阵每减少一行(或列)其秩减少不超过1,即 0 由于R(C)=n,所以R(C.)≥n-(n-r)-(n-s)=r+s-n R(AB)≥R(A)+R(B)-n 注意上述8个例题的证明方法是关于矩阵秩的命题证明的基本方法.8个例题的结 常被用来证明其他的命题.如下例 例9设A、B均为n阶方阵,ABA=B1,E为n阶单位矩阵,试证 R(E-AB)+ R(E+ AB)=n 证由ABA=B1,得ABAB=E,即E2-(AB)2=O,即(E-AB)(E+AB) O,从而由例7知 R(E-AB)+R(E+AB)≤n 另一方面(E-AB)+(E+AB)=2E,又由例5知 R(E-AB)+R(E+AB)≥n 综上,得 R(E- AB)+R(E + AB)= 例10设A‘是n(≥2)阶方阵A的伴随矩阵,证明 (1)R(A2)={1,R(A)=n-1;(2)1A1=1A"1 (A)<n-1 证(1)①已知R(A)=n,只要证明A‘是可逆矩阵,即R(A)=n,事实上, R(A)=n时,A可逆,1A1≠0,由AA=1AIE,知AA可逆,所以R(A)=n ②已知R(A)=n-1,要证R(A)=1 因为R(A)=n-1,有1A|=0,AA=1A1E=O,根据例7知,R(A)+R(A ≤n,从面R(A)≤n-R(A)=1;又R(A)=n-1,即矩阵A至少有一个n-1阶子 式不等于零,那么矩阵A‘中至少有一个元素非零即A≠O,根据例1知R(A)≥1 此推知R(A·)=1. ③已知R(A)<n-1时,证明R(A)=0. 由R(A)<n-1,A的所有n-1阶子式全为零.A=0(i,j=1,2,…,n).故A O,所以R(A)=0 (2)考虑A可逆与不可逆两种情形,①当A可逆时,1A1≠0,由AA=|A|E得 1A1A·1=11A|E|=1A1”,所以1A‘1=1A|"1,②A不可递时,由(1)知R(A ≤n-1,R(A)≤1.故1A1=0,即1A1=1A1”恒成立