第24讲矩阵运算方法与技巧(3 141 于是P1ABQ2=P1AQ1(Q:P2)P2BQ2,令C=Q1}P2=(cn),则 0…0 0 0 0 R(AB)=R(P, ABQ,)=R S min(p, q)= min(R(A),R(B)) 例7设A,B均为n阶方阵,若AB=O,则R(A)+R(B)≤n 证设矩阵B的列向量为B,阝2,…,B,则由分块矩阵的乘法有 AB=A(阝1,B2,…,B)=(AB1,AB2,…,ABn)=(0 即有 A=0(j=1,2,…,n) 可见B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解 设R(A)=r,则此方程组的基础解系所含的向量的个数为n-r个,于是向量组阝1, 阝2,…,Bn的秩≤n-r,即R(B)≤n-r R(A)+R(B)≤n 证设R(A)=,R(B)=s则有可逆方阵P1,,P2,2食 例8设A、B均为n阶方阵,试证R(AB)≥R(A)+R(B) E. O E. O P1AQI P2 AQ2= 于是 P, ABQ2= Pr AQ,(0: P2)P2 BO2 令 则P1ABQ2 E, 01c21 c22 0 C 00 0LO O 0…00…0 00 0