140 线性代数重点难点30讲 第24讲矩阵运算方法与技巧(3) 矩阵秩的计算通常是通过矩阵的初等变换化为矩阵最简型,再讨论;或利用分块矩阵 乘法,结合齐次方程组进行分析.下面例1至例8给出了有关矩阵秩的重要公式.望读者 学习其解题方法的过程中,也能记住这些结论 例1试证:若A≠O,则R(A)≥1(证明留给读者) 例2试证:若A可逆,则R(AB)=R(B)(同理可证:若B可逆,则R(AB)= R(A))(参考第27讲例14).即用可逆方阵乘矩阵后,矩阵的秩不变 例3试证:R(A)=R(A)=R(AA)(参考第27讲例14) 例4试证:R(A,B)≤R(A)+R(B)(其中(A,B)表示A与B按同行合并后的 阵) 分析因为矩阵的行秩等于列秩,并统称为矩阵的秩,所以只需证明矩阵(A,B)、A和 B的列秩满足上述不等式,也就是矩阵(A,B)列向量组的秩不大于矩阵A和B列向量组的 秩的和那就只需证明矩阵(A,B)列向量组可由矩阵A,B列向量组线性表出即可 证设R(A)=p,R(B)=q,R(A,B)=m,又不妨设a1,…,为A中列向量的枥 大线性无关组,B1,…,月为B中列向量的极大线性无关组,U1,…,Un为(A,B)中列向量的 极大线性无关组,则U2,D2,…,Dn可由a1,;…a2,B1,…,B,线性表示,故有m≤p+q.即 R(A,B)≤R(A)+R(B) 例5试证:R(A+B)≤R(A)+R(B). 证注意,利用例4的结论 A +B O R(A+B)=R A+BB A+B-B B A B ≤R(A)+R(B) O 0 O 注:由例5可知,若A+B=kE(k≠0),则R(A)+R(B)≥n 例6试证:R(AB)≤minR(A),R(B) 证注意,利用例2的结论设A=(a4),B=(b),R(A)=p,R(B)=q 存在m阶可逆阵P1及s阶可逆阵Q1使 P:= 同理,存在s阶可逆阵P2及n阶可逆阵Q2,使 P,BC