+2F12xdy-2(F12+F2)d+(F1+F21)dx] Fdx+fdy F1+F2 +(,2(计+F+F(F1+2F2+F2 F1+F2 (F1+F2)2 2F2(F12+F2),F2(F1+2F12+F2 F1+F2 (F1+F2) +2(F1 F(F2+F2)+F2(F1+F21),(F1+2F12+F2)FF2 (F1+F2) dxd小y] F1+F2 故 [F1 2F1(F1+F21),F1(F1+2F12+F2 F1+F2 F1+F2 (F1+F2)2 2(F1+2)+点(hn+2h+) F1+F2 (F1+F2)2 +F2-(F2+F2)+F(F1+F)+(F1+2F12+F2)F少 2 F1+F2 (F1+F2)2 §4方向导数 对多元函数u=f(P),前面曾讨论了它在某点(x0,y)的可微、偏导数、连续之间的关系。 下面进一步讨论方向导数与这些概念之间的关系。如下图 ∫连续 f可 ∫x,J,存在 可f d eln, atk 存在 4 a(±i) 存在 1→4课本定理 3→5由偏导数定义和方向导数定义即得 ￥3,5÷3例:函数二=x2+y2在P(00)点沿任意方向的方向导数存在, a() a()8 2 2[( ) ( ) ] + F12dxdy− F12 + F22 dy + F11 + F21 dx 1 2 1 2 F F F dx F dy + + 2 2 1 2 11 12 22 2 1 1 2 1 11 21 11 1 2 ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) [( 1 dx F F F F F F F F F F F F F F + + + + + + − + − = + + + + + + + + − 2 2 1 2 11 12 22 2 2 1 2 2 12 22 22 ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) ( dy F F F F F F F F F F F F ) ] ( ) ( ) ( ) ( 2 ) 2( 2 1 2 11 12 22 1 2 1 2 1 12 22 2 11 21 12 dxdy F F F F F F F F F F F F F F F F + + + + + + + + + − 故 ] ( ) 2 ( ) ( 2 ) [ 1 2 1 2 11 12 22 2 1 1 2 1 11 21 11 1 2 F F F F F F F F F F F F F F z xx + + + + + + − + − = ] ( ) 2 ( ) ( 2 ) [ 1 2 1 2 11 12 22 2 2 1 2 2 12 22 22 1 2 F F F F F F F F F F F F F F z yy + + + + + + − + − = ] ( ) ( ) ( ) ( 2 ) [ 2 2 1 2 11 12 22 1 2 1 2 1 12 22 2 11 21 12 1 F F F F F F F F F F F F F F F F F F z xy + + + + + + + + − + − = §4 方向导数 对多元函数 u = f (P) ，前面曾讨论了它在某点 ( , ) 0 0 x y 的可微、偏导数、连续之间的关系。 下面进一步讨论方向导数与这些概念之间的关系。如下图 2 1 3 5 4 1  4 课本定理 3  5 由偏导数定义和方向导数定义即得。 4  3，5  3 例：函数 2 2 z = x + y 在 (0,0) P0 点沿任意方向 l  的方向导数存在， 1 0 lim ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 = + + − =   → x y x y l f P   z f 可微 f 连续 x f ， y f 存在 l   ， l f   存在 ( i ) f     ， ( j) f     ， ( k ) f     存在