特别地,沿坐标轴正、负向的方向导数为 af(Po lim o() lim a(±i)Ax0|△x a(±j)ax-0|△y 但y() = lim 不存在。同理 af(Po) 不存在。 ay 从上面的讨论不难看出,关于3、5有以下结论 (1)af(P) 存在台(P)cf(P) 存在,且 a(±i)a(±j) af (po) af(po) af(po) af(po) a(-i)可 a(-j) 这时有()=9(B),y(B)=9(P 41否则有4→3,与小3矛盾 x+y≠0 2例:f(x,y)={x+y +y=0 lim f(r, y =lim x(x+kx)-1 k 故f(x,y)在B(00)点不连续,。但任意方向1=(0s.smO),当0≠3z,7z lm /(pcos, psin 0)-/(0,0)-lim_p cosesin8-cosesin 6 0 p-(cos 0+sin 6) cos+sin 8 当 时,mf( p cost, psn6)-f(00)_10-0 =Im =0 即f(x,y)在P(0,0)点沿任意方向的方向导数都存在 =|cos+snO,0≠ cossie 3丌7丌 44 52否则有4→2,与42矛盾。或否则与32矛盾。 24例!;设∫(x,y)=(x2+y2)y3,显然∫(x,y)在P(0.0)点连续,但沿任意方向9 特别地，沿坐标轴正、负向的方向导数为 1 | | | | 0 lim ( ) ( ) 0 0 =   − =     → x x i f P x  ， 1 | | | | 0 lim ( ) ( ) 0 0 =   − =     → y y j f P x  。 y 但 x x x f P x   − =    → | | 0 lim ( ) 0 0 不存在。同理， y f P   ( ) 0 不存在。 从上面的讨论不难看出，关于 3、5 有以下结论： x f P   ( ) 0 ， y f P   ( ) 0 存在  ( ) ( ) 0 i f P     ， ( ) ( ) 0 j f P     存在，且 =   i f P  ( ) 0 ( ) ( ) 0 i f P   −  − ， =   j f P  ( ) 0 ( ) ( ) 0 j f P   −  − 这时有 x f P   ( ) 0 i f P    = ( ) 0 ， y f P   ( ) 0 j f P    = ( ) 0 。 4  1 否则有 4  3，与 4  3 矛盾 4  2 例：      + = +  = + 0, 0 , 0 ( , ) x y x y x y xy f x y kx k x x kx f x y x y x kx x ( ) 1 lim ( , ) lim 2 2 0 0 2 − = − + = → =− + → 故 f (x, y) 在 (0,0) P0 点不连续。但任意方向 l = (cos ,sin  )  ，当 4 7 , 4 3    时， = + = − → → (cos sin ) cos sin lim ( cos , sin ) (0,0) lim 2 2 0 0              f f     cos sin cos sin + ， 当 4 7 , 4 3   = 时， 0 0 0 lim ( cos , sin ) (0,0) lim 0 0 = − = − →  →        f f ， 即 f (x, y) 在 (0,0) P0 点沿任意方向 l  的方向导数都存在       =  + =   4 7 , 4 3 0, 4 7 , 4 3 , cos sin cos sin           l f  5  2 否则有 4  2，与 4  2 矛盾。或否则与 3  2 矛盾。 2  4 例： 设 2 2 1/ 3 f (x, y) = (x + y ) ，显然 f (x, y) 在 (0,0) P0 点连续，但沿任意方向 l 