6z12a.nb 散度:vx,y,)=V·(V1ln)+·(2an2)+·(3a)注意在正交曲线坐标系中,山不是常矢量。 d=,1)利的,Vh()x利用V=)+P =V(V1h2h3)(2xVn3)+(V1h2h3)V·(VaxV)第一项利用关系式(b) v(1h2h3) 度h2b利用了V(Va2)x(n3=Ⅳx(a2)Vn3-1x(Vn)V=0 1(h的)。,1(hh。⊥a(nhh I a(i h h3) 实际上a1·Vy等于p沿a1方向的方向导数,从而:a1·Vy== aI h au auy 注意坐标u1做微小变化时,位置矢量沿a1方向的变化长度为hd而非dm,故: au a4 al au 类似可得:d a(, h3 hy) a(3h1h2) d3 h, h, h3 a h h, hy h3 au 从而:|v.px,y,=)= 1 a(1 h3) a(2 hg hn) a(3h1 h2) V·Ia)x(Vv)=0的证明 Vu=du, Vv=dv, (Vu)x(Vv)=Er( u)(a v) v·Vu)x(以=ak[tyk(01n)(0/v)=(0y)euk(ok;n)l+(1n)leyk(ak0)l euk(0k01u):因为出现Lev- Civita符号,故i,j,k三下标应各不相同才不为0 不是一般性,当j=1时,因隐含着对,k求和,故(,k)=(2,3)和(3,2) ,6)=2,3时,00,=03021=02036=213=-1、两者之和=0 (,k)=(3,2)时,ak01u=a203u, 故:k(Ok01n)=0,类似地:ek(0k0/v)=0=V·m)×(m)=0 (okdiu=VX(V 旋度 在正交曲线坐标系,矢量函数:p(x,y,z)=V1(m1,l2,n2)a1+H2(1,n2,l3)a2+Vf(u1,n,3)a3 散度:Vx真x,y,)=Vx(V1a1)+Vx(2a2)+x(v3a2) c=Vx(Ha)利o,Vx(HhVm)利用Vxv有=(V1)x+Px v(I h)x(Vu1)+(ih)Vx(vun n, =V(1h1)×一,其中利用了Vx(Va1)=0 l[ a(vip) 1a(h)。-1(h) h h, au a3×a1利用a3x1=a2,a2xB1=- h lh3 au3 1[a(h),1a(2h2 类似可得: h,lh auy 2=110a1-10a h3 l hy散度：∇ ·V(x, y, z) = ∇ ·(V1 u  1) d1 + ∇ ·(V2 u  2) d2 + ∇ ·(V3 u  3) d3 注意在正交曲线坐标系中 ，u  i 不是常矢量 。 d1 = ∇ ·(V1 u  1) 利用(b) ∇ ·[V1 h2 h3(∇u2)(∇u3)] 利用 ∇ ·V A = (∇V) ·A + V ∇ ·A = ∇(V1 h2 h3)·(∇u2 ∇u3) +(V1 h2 h3) ∇ ·(∇u2 ∇u3) 第一项利用关系式 (b) = ∇(V1 h2 h3) 标量函数的梯度 · u  1 h2 h3 , 利用了 ∇ ·[(∇u2)(∇u3)] = [∇ (∇u2)]·∇u3 - [∇ (∇u3)]·∇u2 = 0 = 1 h1 ∂ (V1 h2 h3) ∂ u1 u  1 + 1 h2 ∂ (V1 h2 h3) ∂ u2 u  2 + 1 h2 ∂ (V1 h2 h3) ∂ u3 u  3 · u  1 h2 h3 = 1 h1 h2 h3 ∂ (V1 h2 h3) ∂ u1 实际上 u  1 ·∇φ 等于 φ 沿 u  1 方向的方向导数 ，从而：u  1 ·∇φ = ∂ φ ∂ l1 = 1 h1 ∂ φ ∂ u1 ≠ ∂ φ ∂ u1 。 注意坐标 u1 做微小变化时 ，位置矢量沿 u  1 方向的变化长度为 h1 u1 而非 u1，故： ∂ φ ∂ l1 ≠ ∂ φ ∂ u1 类似可得 ：d2 = 1 h1 h2 h3 ∂ (V2 h3 h1) ∂ u2 , d3 = 1 h1 h2 h3 ∂ (V3 h1 h2) ∂ u3 从而： ∇ ·V (x, y, z) = 1 h1 h2 h3 ∂ (V1 h2 h3) ∂ u1 + ∂ (V2 h3 h1) ∂ u1 + ∂ (V3 h1 h2) ∂ u3  ∇ · [(∇u)(∇v)] = 0 的证明。 ∇u = ∂i u, ∇v = ∂ j v, (∇u)(∇v) = ϵi j k (∂i u) (∂ j v), ∇ ·[(∇u)(∇v)] = ∂k [ ϵi j k (∂i u) (∂ j v)] = (∂ j v) [ϵi j k (∂k ∂i u) ] + (∂i u) [ϵi j k (∂k ∂ j v) ] ϵi j k (∂k ∂i u) ：因为出现 Levi - Civita 符号，故 i, j, k 三下标应各不相同才不为 0 不是一般性 ，当 j = 1 时，因隐含着对 i, k 求和，故 (i, k) = (2, 3) 和 (3, 2) (i, k) = (2, 3) 时，∂k ∂i u = ∂3 ∂2 u = ∂2 ∂3 u, ϵi j k = ϵ213 = -1 (i, k) = (3, 2) 时，∂k ∂i u = ∂2 ∂3 u, ϵi j k = ϵ312 = 1 两者之和 = 0 故：ϵi j k (∂k ∂i u) = 0，类似地：ϵi j k (∂k ∂ j v) = 0 ⟹ ∇ · [(∇u)(∇v)] = 0 其实：ϵi j k (∂k ∂i u) = ∇ ×( ∇u ) = 0 旋度： 在正交曲线坐标系，矢量函数：V(x, y, z) = V1(u1, u2, u3) u  1 + V2(u1, u2, u3) u  2 + V3(u1, u2, u3) u  3 散度：∇ V(x, y, z) = ∇ (V1 u  1) c1 + ∇ (V2 u  2) c2 + ∇ (V3 u  3) c3 c1 = ∇ (V1 u  1) 利用(a) ∇ (V1 h1 ∇u1) 利用 ∇ V A = (∇V) A + V ∇ A = ∇(V1 h1)(∇u1) +(V1 h1) ∇ (∇u1) 此项为0 = ∇(V1 h1) u  1 h1 , 其中利用了 ∇ (∇u1) = 0 = 1 h1 1 h1 ∂ (V1 h1) ∂ u1 u  1 + 1 h2 ∂ (V1 h1) ∂ u2 u  2 + 1 h3 ∂ (V1 h1) ∂ u3 u  3 u  1 利用 u  3 u  1 = u  2, u  2 u  1 = -u  3 = 1 h1 1 h3 ∂ (V1 h1) ∂ u3 u  2 - 1 h2 ∂ (V1 h1) ∂ u2 u  3 类似可得 ： c2 = 1 h2 1 h1 ∂ (V2 h2) ∂ u1 u  3 - 1 h3 ∂ (V2 h2) ∂ u3 u  1 c3 = 1 h3 1 h2 ∂ (V3 h3) ∂ u2 u  1 - 1 h1 ∂ (V3 h3) ∂ u1 u  2 6 z12a.nb