z12a nb5 对正交曲线坐标系,总可以对三个两两正交的单位矢量:a1,a2,a3的下标进行适当的调整,使得: i1×i2=D3,i2i3=D1,l3x=a2 这种正交曲线坐标系称为右手系 Take-home message,对正交曲线坐标系,有 dr= e dxs a dushi nidu dFdP=dxdx= gudud正交系 h i dudu 几何意义:若仅仅让第i个坐标作微小变化d山,对应的微分线元长度为:hdl不是d 因此,对正交曲线坐标系中,函数(1,l2,u3)沿a方向的方向导数为 09而非 这里沿方向意味着另两个坐标没有变 Q正交曲线坐标系中的梯度、散度、旋度与 Laplacian 梯度: 当正交曲线坐标(1,,l3)发生一微小变化时,标量函数(x1,x2,x3)=(n,l2,l3)发生的改变可表为函数的全微分 另一方面,当坐标发生一微小变化时,位置矢量的微分线元dP为 d=er=, a du 而梯度的意义就在于:因坐标变化导致函数值的变化dy,等于该函数的梯度与微分线元d的标量积。 令:正交曲线坐标中梯度V=a1m1+a22+a3a,并利用正交曲线坐标系:D,D=:a= d=(Vy),d=(a)h2D2d=01hd如相互独立 (这里不对i求和) 从而:4=12a++一叭 h3 du3 其中:h= 上式即为正交曲线坐标系中梯度的表达式 两个关系式: (a)Vl=-D1证明:以a替代梯度表达式中的y即得。(令=l代入V即得) (b)a1=h2h3(Vn2)x(Vn3),a2=h3h1VxVu,a3=hh2 VungU,类比于:t=1xb3 证明:据(a),Vb22 n3 (Vu2)x(u)-A2xA3 A1 hn h3 h h 这里利用了a1,a2,a3两两垂直构成右手系 散度 在正交曲线坐标系,矢量函数:p(x,y,)=1(u1,l2,n3)a1+h2(un,l2,l)a2+n,n,v3)a对正交曲线坐标系 ，总可以对三个两两正交的单位矢量 ：u  1, u  2, u  3 的下标进行适当的调整 ，使得： u1×u2 = u  3, u2×u3 = u  1, u3×u1 = u  2 这种正交曲线坐标系称为 右手系。 2 1 2 3 1 3 Take-home message，对正交曲线坐标系，有：  r  = e  i xi = ai ui = hi u  i ui ,  r · r  = xi xi = gij ui uj 正交系 hi 2 ui ui , hi = ∂ x1 ∂ ui 2 + ∂ x2 ∂ ui 2 + ∂ x3 ∂ ui 2 1/2 几何意义 ：若仅仅让第 i 个坐标 ui 作微小变化 ui，对应的微分线元长度为 ：hi ui 不是 ui 因此，对正交曲线坐标系中 ，函数 φ(u1, u2, u3) 沿 u  i 方向的方向导数为 ： 1 hi ∂ φ ∂ ui 而非 ∂ φ ∂ ui 。 这里沿 u  i 方向意味着另两个坐标没有变 。  正交曲线坐标系中的梯度、散度、旋度与Laplacian 梯度： 当正交曲线坐标 (u1, u2, u3) 发生一微小变化时，标量函数 φ(x1, x2, x3) = φ(u1, u2, u3) 发生的改变可表为函数的全微分 φ = ∂ φ ∂ xi xi = ∂ φ ∂ ui ui 另一方面，当坐标发生一微小变化时，位置矢量的微分线元  r  为  r  = e  i xi = hi u  i ui 而 梯度的意义 就在于：因坐标变化导致函数值的变化 φ，等于该函数的梯度与微分线元  r  的标量积。 令：正交曲线坐标中梯度 ∇φ = α1 u  1 + α2 u  2 + α3 u  3, 并利用正交曲线坐标系： u  i ·u  j = ai ·aj hi hj = δij φ = ∂ φ ∂ ui ui = (∇φ)· r  = (αj u  j)·hi u  i ui = αi hi ui ui 相互独立 αi = 1 hi ∂ φ ∂ ui （这里不对 i 求和） 从而： ∇φ = 1 h1 ∂ φ ∂ u1 u  1 + 1 h2 ∂ φ ∂ u2 u  2 + 1 h3 ∂ φ ∂ u3 u  3 , 其中： hi = ∂ x1 ∂ ui 2 + ∂ x2 ∂ ui 2 + ∂ x3 ∂ ui 2 1/2 上式即为正交曲线坐标系中梯度的表达式。 两个关系式： (a) ∇ui = 1 hi u  i 证明： 以 ui 替代梯度表达式中的 φ 即得。（令 φ = ui 代入 ∇φ 即得） (b) u  1 = h2 h3(∇u2)(∇u3), u  2 = h3 h1 ∇u3 ∇u1, u  3 = h1 h2 ∇u1 ∇u2, 类比于： e  1 = e  1× e  3 证明：据 (a), ∇u2 = u  2 h2 , ∇u3 = u  3 h3 ⟶ (∇u2)(∇u3) = u  2 u  3 h2 h3 = u  1 h2 h3 , 这里利用了 u  1, u  2, u  3 两两垂直构成 右手系。 散度： 在正交曲线坐标系，矢量函数：V(x, y, z) = V1(u1, u2, u3) u  1 + V2(u1, u2, u3) u  2 + V3(u1, u2, u3) u  3 z12a.nb 5