z12a nb 在直角坐标系和一般曲线坐标系中,位置矢量产分别表为: ,=,=p,= 即:位置矢量产是坐标的矢量函数 由于坐标变化导致位置矢量的变化,称为微分线元dP,表为全微分形式 其中 0≠( 显然,产:2、x)即为直角坐标中三个单位长度的基矢,因为r=2x中的己为常矢量 现在来看a的方向。以为例。 1 a1的几何意义:在空间某点,保持坐标n和3不变,仅让坐标砌作一微小变化 位置矢量产相对于a1的变化率。 而保持坐标n2和不变,让坐标m1变化,点在空间的轨迹(跑出的曲线)称为坐标曲线n1 显然,坐标曲线a由下列参数方程给出 x2=70,的,的因此坐标曲线的切向为:21+①2+0a2=a x3=/3(u1,n2,l3) 所以,坐标曲线m的切向就是aru,,n) 的方向(此处是方向相同,大小尚未归一) 通常,取坐标曲线a切向的单位矢量作为曲线坐标系的一个基矢a1,因此,曲线坐标系的三个基矢为 ,=一=-,h=|a= 利用了t 这里在直角坐标系中利用 Pythagorean定理求得a的长度h并进行归一化得a P=2dx=adu=h a du d 注意曲线坐标系的基矢尽管长度均为1,但是其方向与空间位置有关,依然是{u1,n2,l3}的函数 即:曲线坐标系的基矢可能不是常矢量。(尽管其长度已归一化,方向会变。) 这一点不同于直角坐标系,后者的三个基矢t都是常矢量 微分线元dP的长度,利用直角坐标系中btk=6k dFdF=(tdx)1(dx)=(2,)dxdx)=dxdx dxk axk ax ax ax2 ax ax3 a g构成的矩阵称为度规。度规的对角元g=h(注意这里gu的两个重复指标不求和) 如果=司={。(,则对应的曲线坐标系称为,正之曲线坐标系 对正交曲线坐标系:4,d=dxdx=dud(注意这里三个重复指标仅对i求和一次)在直角坐标系和一般曲线坐标系中，位置矢量 r  分别表为： r  = e  i xi = r (x1, x2, x3) = r (u1, u2, u3), e  1 = e  x , e  2 = e  y , e  3 = e  z 。 即：位置矢量 r  是坐标的矢量函数。 由于坐标变化导致位置矢量的变化，称为微分线元  r  ，表为全微分形式  r  = ∂ r  (x1, x2, x3) ∂ xi xi = e  i xi = ∂ r  (u1, u2, u3) ∂ ui ui = ai ui, 其中： ∂ r (x1, x2, x3) ∂ xi = e  i, ∂ r (u1, u2, u3) ∂ ui = ai 显然， ∂ r (x1, x2, x3) ∂ xi 即为直角坐标中三个单位长度的基矢，因为 r  = e  i xi 中的 e  i 为常矢量。 现在来看 ai 的方向。以 a1为例。 a1 = ∂ r  (u1, u2, u3) ∂ u1 定义式 = ∂ x1(u1, u2, u3) ∂ u1 e  1 + ∂ x2(u1, u2, u3) ∂ u1 e  2 + ∂ x3(u1, u2, u3) ∂ u1 e  3 = ∂ xi ∂ u1 e  i a1 的几何意义 ：在空间某点 ，保持坐标 u2 和 u3 不变，仅让坐标 u1 作一微小变化 ， 位置矢量 r  相对于 u1 的变化率 。 而保持坐标 u2 和 u3 不变，让坐标 u1 变化，点在空间的轨迹（跑出的曲线）称为 坐标曲线 u1。 显然，坐标曲线 u1由下列参数方程给出 x1 = f  1(u1, u2, u3) x2 = f  2 (u1, u2, u3) x3 = f  3 (u1, u2, u3) , 因此坐标曲线 u1 的切向为： ∂ x1 ∂ u1 e  1 + ∂ x2 ∂ u1 e  2 + ∂ x3 ∂ u1 e  3 = a1 所以，坐标曲线 u1 的切向就是 a1 = ∂ r (u1, u2, u3) ∂ u1 的方向 （此处是方向相同 ，大小尚未归一 ）。 通常，取坐标曲线 u1切向的单位矢量作为曲线坐标系的一个基矢 u  1，因此，曲线坐标系的三个基矢为： u  i = ai  ai = ai hi , hi =  ai = ∂ x1 ∂ ui 2 + ∂ x2 ∂ ui 2 + ∂ x3 ∂ ui 2 , 利用了 ai = ∂ x1 ∂ ui e  1 + ∂ x2 ∂ ui e  2 + ∂ x3 ∂ ui e  3 这里在直角坐标系中利用 Pythagorean 定理 求得 ai 的长度 hi 并进行归一化得 u  i  r  = e  i xi = ai ui = hi u  i ui, ai = e  k ∂ xk ∂ ui 注意曲线坐标系的基矢 u  i 尽管长度均为1，但是其方向与空间位置有关，依然是 {u1, u2, u3} 的函数 即：曲线坐标系的基矢 u  i 可能不是常矢量。（尽管其长度已归一化，方向会变。） 这一点不同于直角坐标系，后者的三个基矢 e  i 都是常矢量。 微分线元  r  的长度，利用直角坐标系中 e  k · e  k′ = δk k′  r · r  =  e  i xi· e  j x j =  e  i · e j xi x j = xi xi =  ai ui· a j uj = ai ·aj ui uj = e  k · e  k′ ∂ xk ∂ ui ∂ xk′ ∂ uj ui u j = ∂ xk ∂ ui ∂ xk ∂ uj ui uj = gij ui u j gij = ai ·aj = ∂ xk ∂ ui ∂ xk ∂ uj = ∂ x1 ∂ ui ∂ x1 ∂ uj + ∂ x2 ∂ ui ∂ x2 ∂ uj + ∂ x3 ∂ ui ∂ x3 ∂ uj , gij 构成的矩阵称为 度规。度规的对角元 gii = hi 2 （注意这里 gii 的两个重复指标不求和 ） 如果 gij = ai ·aj =  hi 2, i = j 0, i ≠ j ，则对应的曲线坐标系称为 ：正交曲线坐标系 对正交曲线坐标系 ：  r · r  = xi xi = hi 2 ui ui （注意这里三个 重复指标仅对 i 求和一次 ） 4 z12a.nb