z12anb 3 显然:af 从而: Laplacian V2=001y=00y Laplacian在转动变换下也是不变的 对于一个由 Euler角(a,B,y)确定的转动,空间同一点新旧坐标的变换关系为 cos ar cos Bcos siny -cos a cos Bsiny-sin a cos y os a sin B x=A/x转动矩阵:A=| sin a cos y- cos a siny- sin a cos Bsiny+ cos a cosy sin a sin B 转动矩阵满足:AT=A1 x/=}x Alap=Aya/p a xf ax dx daiy=ar [Ak Ok]= AikOkdiy= Ai aklAagl AkA020/9=Ai}A,0k09=6k0209=0/0 Q正交曲线坐标系 空间上的任意一点P可以用直角坐标(x,y,2)或(x1,x2,x3)表征 若果存在一组独立、连续、可微的单值函 a1=f(x1,x2,x3),2=左(x1,x2,x3),=f(x1,x2,x3) 并且其反函数 也独立、连续、可微、单值 那么P点的坐标就也可以用(1,n2,n3)表征,因为(x1,x2,x3)与(u1,n2,l3)一一对 (,n2,3)称为空间点P的曲线坐标 用曲线坐标来描述空间任意点位置的坐标系称为曲线坐标系 典型的曲线坐标系如: x2+y2+=) 圆球坐标系 rsin e sin d =rcos e 0 柱坐标系:{y=p psin d x 个函数独立的要求为: Jacobi行列式不等于0 ≠0显然：∂i ′ φ = ∂ φ ∂ xi ′ = ∂ φ ∂ xk ∂ xk ∂ xi ′ = ∂ φ ∂ xk δi k = ∂ φ ∂ xi = ∂i φ 从而：Laplacian ∇2 φ = ∂i ∂i φ = ∂i ′ ∂i ′ φ Laplacian 在转 动变换下也是不变的 对于一个由 Euler 角 (α, β, γ) 确定的转动 ，空间同一点新旧坐标的变换关系为 ： xi ′ = Ai j x j 转动矩阵 ：A = cos α cos β cos γ - sin α sin γ -cos α cos β sin γ - sin α cos γ cos α sin β sin α cos β cos γ - cos α sin γ -sin α cos β sin γ + cos α cos γ sin α sin β -sin β cos γ sin β sin γ cos β 转动矩阵满足 ：AT = A-1 ⟹ Ai j -1 = Aj i , x j = Aj i -1 xi ′ ⟹ ∂i ′ φ = ∂ φ ∂ xi ′ = ∂ x j ∂ xi ′ ∂ φ ∂ x j = Aj i -1 ∂ j φ = Ai j ∂ j φ ∂i ′ ∂i ′ φ = ∂i ′ [Ai k ∂k φ] = Ai k ∂k ∂i ′ φ = Ai k ∂k [Ai j ∂ j φ] = Ai k Ai j ∂k ∂ j φ = Ak i -1 Ai j ∂k ∂ j φ = δ j k ∂k ∂ j φ = ∂ j ∂ j φ  正交曲线坐标系 空间上的任意一点 P 可以用直角坐标 (x, y, z) 或 (x1, x2, x3) 表征。 若果存在一组独立、连续、可微的单值函数 u1 = f1(x1, x2, x3), u2 = f2(x1, x2, x3), u3 = f3(x1, x2, x3) 并且其反函数 x = x1 = f  1(u1, u2, u3), y = x2 = f  2(u1, u2, u3), z = x3 = f  3(u1, u2, u3) 也独立、连续、可微、单值， 那么 P 点的坐标就也可以用 (u1, u2, u3) 表征，因为 (x1, x2, x3) 与 (u1, u2, u3) 一一对应。 (u1, u2, u3) 称为空间点 P 的曲线坐标。 用曲线坐标来描述空间任意点位置的坐标系称为曲线坐标系。 典型的曲线坐标系如： 圆球坐标系 ： x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ u1 = r = x2 + y2 + z2 1/2 u2 = θ = cos-1 z r , ρ = x2 + y2 1/2 u3 = ϕ = cos-1 x ρ , y ≥ 0 2 π - cos-1 x ρ , y < 0 圆柱坐标系 ： x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z u1 = ρ = x2 + y2 1/2 u2 = ϕ = cos-1 x ρ , y ≥ 0 2 π - cos-1 x ρ , y < 0 u3 = z 三个函数独立的要求为：Jacobi 行列式不等于 0。 J = ∂ (u1, u2, u3) ∂ (x1, x2, x3) = ∂ u1 ∂ x1 ∂ u1 ∂ x2 ∂ u1 ∂ x3 ∂ u2 ∂ x1 ∂ u2 ∂ x2 ∂ u2 ∂ x3 ∂ u3 ∂ x1 ∂ u3 ∂ x2 ∂ u3 ∂ x3 ≠ 0 z12a.nb 3