2 z12anb 1=,2=y,t3=2=为直角坐标的三个基矢,这三个基矢与空间点的位置无关,长度为l。 微分线元:d=xdx+bydy+2d==dx,因坐标{xl发生变化导致的位置矢量的变化 上式表明:若保持其它坐标不变,只让坐标x发生一微小变化,位置矢量沿e方向移动了长度dx 梯度:对标量函数(x,y,z) vφ(x,y, 其中x1=x,x2=y,x3=x,a 1=x,p2=py,23=己 性质:全微分d428,y+d=(x,y,=)d,其中dr=2dx为微分线元 上式表明 因坐标{x}变化导致函数的变化d,等于该函数的梯度与位置矢量的微分线元d之标量积 又:让位置矢量沿某方向e做一微小变化:d=2dl,函数值的变化为: 2),d=1cy),ad1=4=b,Vx 上式表明 梯度与任意方向单位矢量的标量积等于函数沿该方向的方向导数。 以上两个性质作为是推导一般坐标系中梯度、散度、旋度和 Laplacian等各种表达式的基础 散度:对矢量函数讠x,y,-)=1(x,y,z)+2(x,y,)+(x,y,2)=H ⅴ·真(x,y,) av av3 av3 =01,其中a1V 旋度:对矢量函数真xy,)=(x,y,z)+2(x,y,2)+3(x,y,2)=H 色123 xxy)=|a1a2a3/=/a吃 av av3 dv2 av dx3 d Iv xPi, y. )=c 若下标犹=123及其循环置换 其中E为Lev-Cwa符号:={-1若下标=321及其循环置换 0其它 d×b=m己ab或更简单些:a,(a×b)=-1b Levi-Cvta符号满足:{=-=-=-任意两下标互换,差一负号 Eyk Emmk dim o n ojm 6m=30m-0m=20m Laplacian:对标量函数(x,y,) ax00n9a,.其中0= V2y(x,y,)=-+-+ laplacian V2的平移、转动不变性 容易看出, Laplacian在坐标平移变换下是不变的 坐标平移:x=x+a;i=1,2,3,满足 dxe  1 = e  x, e  2 = e  y, e  3 = e  z 为直角坐标的三个基矢 ，这三个基矢与空间点的位置无关 ，长度为 1。 微分线元 ： r  = e  x x + e  y y + z e  z z = e  i xi， 因坐标 {xi} 发生变化导致的位置矢量的变化 上式表明 ：若保持其它坐标不变 ，只让坐标 xi 发生一微小变化 ，位置矢量沿 e  i 方向移动了长度 xi 梯度：对标量函数 φ(x, y, z) ∇φ(x, y, z) = ∂ φ ∂ x e  x + ∂ φ ∂ y e  y + ∂ φ ∂ z e  z = e  i ∂i φ, 其中 x1 = x, x2 = y, x3 = z, ∂i φ ≡ ∂ φ ∂ xi , e  1 = e  x , e  2 = e  y , e  3 = e  z 性质：全微分 φ = ∂ φ ∂ x x + ∂ φ ∂ y y + ∂ φ ∂ z z = [∇φ(x, y, z)]·  r , 其中  r  = e  i xi 为微分线元 上式表明 ： 因坐标 {xi} 变化导致函数的变化 φ，等于该函数的梯度与位置矢量的微分线元  r  之标量积。 又：让位置矢量沿某方向 e  l 做一微小变化 ： r  = e  l l，函数值的变化为 ： φ = [∇φ(x, y, z)]·  r  = [∇φ(x, y, z)]· e  l l ⟹ φ l = e  l ·∇φ(x, y, z) 上式表明 ： 梯度与任意方向 单位矢量 的标量积等于函数沿该方向的方向导数 。 以上两个性质作为是推导一般坐标系中梯度 、散度、旋度和 Laplacian 等各种表达式的基础 。 散度：对矢量函数 V(x, y, z) = V1(x, y, z) e  x + V2(x, y, z) e  y + V3(x, y, z) e  z = Vi e  i ∇ ·V(x, y, z) = ∂ V1 ∂ x1 + ∂ V2 ∂ x2 + ∂ V3 ∂ x3 = ∂iVi , 其中 ∂i Vi = ∂ Vi ∂ xi 旋度：对矢量函数 V(x, y, z) = V1(x, y, z) e  x + V2(x, y, z) e  y + V3(x, y, z) e  z = Vi e  i ∇ V(x, y, z) = e  1 e  2 e  3 ∂1 ∂2 ∂3 V1 V2 V3 = e  1 ∂ V3 ∂ x2 - ∂ V2 ∂ x3 + e  2 ∂ V1 ∂ x3 - ∂ V3 ∂ x1 + e  3 ∂ V2 ∂ x1 - ∂ V1 ∂ x2 = ϵijk e  i ∂ jVk, ∇ V(x, y, z) i = ϵijk ∂ jVk = ∂ jVk ϵjki 其中 ϵijk 为 Levi - Civita符号：ϵijk = 1 若下标 ijk = 123 及其循环置换 -1 若下标 ijk = 321 及其循环置换 0 其它 Levi - Civita符号满足： ab = ϵijk e  i aj bk 或更简单些 ：e  i ·ab = ϵijk aj bk ϵijk = -ϵjik = -ϵikj = -ϵkji 任意两下标互换 ，差一负号 ϵijk ϵmnk = δim δ jn - δin δ jm ϵi jk ϵm jk = δim δ jj - δij δ jm = 3 δim - δim = 2 δim Laplacian：对标量函数 φ(x, y, z) ∇2 φ(x, y, z) = ∂2 φ ∂ x1 2 + ∂2 φ ∂ x2 2 + ∂2 φ ∂ x3 2 = ∂i ∂i φ, 其中 ∂i φ = ∂ φ ∂ xi Laplacian ∇2 的平移、转动不变性 容易看出，Laplacian 在坐标平移变换下是不变的 坐标平移 ：xi ′ = xi + αi i = 1, 2, 3, 满足： ∂ x j ∂ xi ′ = δi j 定义：∂i φ = ∂ φ ∂ xi , ∂i ′ φ = ∂ φ ∂ xi ′ 2 z12a.nb