12 正交曲线坐标系 分离变量法是求解数理方程(偏微分方程)的常用方法 在分离变量法中,我们需要齐次边条,再把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条,进而求解本征值问题。 例如:当边界在x=a平面时,在直角坐标系中,我们可以轻易地把多元函数的1类齐次边条化为单变量函数的齐次边条 uxy2=l-=0-=0x(a)10)2)moL=0→Xa)=0 但如果边界是球面,取直角坐标系显然不能把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条 直角坐标系将得到:u(x,y,,ol2+)+=a=0 X(r)Yo)Z)7( 无法得到单变量函数的齐次边条 这时应该取球坐标(r,6,卣),在球坐标中进行分离变量,从而有 u(r,B,d,D=a=0“=的吗的10,Rr)66)(6)了0 R(a)=0 所以,要利用分离变量法,应该取合适的坐标系,使得 边界在所取的坐标系中对应于某一个坐标变量等于常数 这样才能把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条,从而利用齐次边条定出本征值、本征函数。 所以我们有以下结论:体系的边界决定了我们应该取什么样的坐标系。或者,说得更迷人或更迷蒙一点 体系的对称性决定了坐标系。 对 Laplace方程(波动方程可化为 Helmholtz方程,比 Laplace方程稍微复杂,分离变量的做法相同),数学上证明了 只有在11种坐标系中才能通过分离变量求解。这11种坐标系包括(常用的): 直角坐标系、球坐标系、圆柱坐标系 当然还有:椭圆柱坐标系、抛物柱面坐标系、扁球面坐标系、长球面坐标系、圆锥坐标系等等。 因为我们要在球坐标系、圆柱坐标系中应用分离变量法,为此我们需要了解一些曲线坐标系的常识, 如:梯度、散度、旋度、特别是 Laplacian(2)的表达形式,因为数理方程大多涉及 Laplacian(四2)运算。 这里的推导没有涉及各种几何意义,可作为大部分数学教材的一种 alternative 121正交曲线坐标系 Q直角坐标系中的矢量分析公式 先回顾直角坐标系的矢量分析公式。除特别说明,以下公式中隐含了对重复指标求和( Einstein求和约定) 位置矢量、微分线元:对空间上以直角坐标(x,y,z)表征的任意一点P, 位置矢量:F=xtx+yby+2=xt,为从坐标原点到P点的矢量。其中x1=x,x2=y,x3=z12 正交曲线坐标系 分离变量法是求解数理方程（偏微分方程）的常用方法。 在分离变量法中，我们需要齐次边条，再把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条，进而求解本征值问题。 例如：当边界在 x = a 平面时，在直角坐标系中，我们可以轻易地把多元函数的 I 类齐次边条化为单变量函数的齐次边条 u(x, y, z, t)x=a = 0 u(x,y,z,t)=X(x) Y(y) Z(z) T (t) X(x) Y(y) Z(z) T(t) x=a = 0 ⟶ X(a) = 0 但如果边界是球面，取直角坐标系显然不能把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条。 直角坐标系将得到 ：u(x, y, z, t)x2+y2+z2= a2 = 0 u(x,y,z,t)=X(x) Y(y) Z(z) T (t) X(x) Y(y) Z(z) T(t) x2+y2+z2= a2 = 0 无法得到单变量函数的齐次边条 。 这时应该取球坐标 (r, θ, ϕ)，在球坐标中进行分离变量，从而有： u(r, θ, ϕ, t)r=a = 0 u(r,θ,ϕ,t)=R(r) Θ(θ) Φ(ϕ) T(t) R(r) Θ(θ) Φ(ϕ) T(t) r=a = 0 ⟶ R(a) = 0 所以，要利用分离变量法，应该取合适的坐标系，使得 边界在所取的坐标系中对应于某一个坐标变量等于常数 。 这样才能把多元函数的齐次边条化为单变量函数的齐次边条，从而利用齐次边条定出本征值、本征函数。 所以我们有以下结论：体系的边界决定了我们应该取什么样的坐标系。或者，说得更迷人或更迷蒙一点， 体系的对称性决定了坐标系 。 对Laplace方程（波动方程可化为Helmholtz方程，比Laplace方程稍微复杂，分离变量的做法相同），数学上证明了： 只有在11种坐标系中才能通过分离变量求解。这11种坐标系包括（常用的）： 直角坐标系 、球坐标系 、圆柱坐标系 当然还有：椭圆柱坐标系、抛物柱面坐标系、扁球面坐标系、长球面坐标系、圆锥坐标系等等。 因为我们要在球坐标系、圆柱坐标系中应用分离变量法，为此我们需要了解一些曲线坐标系的常识， 如：梯度、散度、旋度、特别是 Laplacian（∇2）的表达形式，因为数理方程大多涉及 Laplacian （∇2）运算。 这里的推导没有涉及各种几何意义，可作为大部分数学教材的一种 alternative。 12.1 正交曲线坐标系  直角坐标系中的矢量分析公式 先回顾直角坐标系的矢量分析公式。除特别说明，以下公式中隐含了对重复指标求和（Einstein 求和约定）。 位置矢量、微分线元：对空间上以直角坐标 (x, y, z) 表征的任意一点 P， 位置矢量 ：r  = x e  x + y e  y + z e  z = xi e  i，为从坐标原点到 P 点的矢量。其中 x1 = x, x2 = y, x3 = z