习题1设a∈G,a的阶为n,证明a’的阶是d,其中4=(,) 证明:首先,(2)2-(27=e2=e 其次,若(a2)”= 故a’的阶是d。 习题2设是循环群,G与同态,证明是循环群 证明,设G=(a,a)=aed,下证=() v万∈,在b∈G,使0b)=b b=a→b=)=a2)=(以a) 所以(=a) 习题3证明循环群的子群也是循环群。 证明,G=(),H是G的子群,又设是属于H且指数最小的正整数,下证=(a) Vb=a∈Him=7+”0r<r 则 (ay 若 (a))2-ae丑 这与的取法矛盾 r'=0→a=(a)→H=(a) 习题4找出模12的剩余类加群的所有子群 解:设H是“1的子群,则H的个数只能为1、2、3、4、6、12习题 1 设 ， 的阶为 ，证明 的阶是 ，其中 。 证明：首先， ； 其次，若 ，即 ， 因为 的阶为 ，所以 ，而 ， 故 的阶是 。 习题 2 设 是循环群，G 与 同态，证明 是循环群。 证明：设 G＝( )， ，下证 。 ，存在 ，使 ， 又 ， 所以 。 习题 3 证明循环群的子群也是循环群。 证明：设 ，H 是 G 的子群，又设 是属于 H 且指数最小的正整数，下证 。 ，设 ， 则 ，若 ，这与 的取法矛盾， 故 。 习题 4 找出模 12 的剩余类加群的所有子群。 解：设 H 是 的子群，则 H 的个数只能为 1、2、3、4、6、12；