O(H=2,{0]、[6]}: O(H=3,{0]、[4]、[8} O(H=4,{0]、[3]、6、[9]} O(H=6,{0、2]4、6[8]、[10 O(H=12 习题5假设H是群G的一个非空子集,并且H的每一个元的阶都有限,证明H作成子群的充要条件是: a,b∈H→ab∈H 证明:→显然 ←a∈H ∈H 习题6假定a和b是一个群G的两个元,并且ab=ba,又假定a的阶是m,b的阶是,(m,n) 证明:cb 的阶是 证明一方面,(ab=ab=(a")()=e 另一方面,若(ab)=e,则(aby=e→(n)b=e 同理 (m,)=1.mn|k,故,ab的阶是m 习题7若我们把同构的群看作一样的,一共只存在两个阶是4的群,它们都是交换群 证明;设G=(,abc) 若G中有阶为4的元a,则b=a2,c=a2,G=(,a,aa2)为循环群 若G中无阶为4的群,则 ea2=e,b2=e,c2=,此时群一定为交换群, 习题8假定H是G的子群,N是G的不变子群,证明HN是G的子群。 证明W,与2∈NO(H)=1，{e}； O(H)=2，{[0]、[6]}； O(H)=3，{[0]、[4]、[8]}； O(H)=4，{[0]、[3]、[6]、[9]}； O(H)=6，{[0]、[2]、[4]、[6]、[8]、[10]}； O(H)=12， 。 习题 5 假设 H 是群 G 的一个非空子集，并且 H 的每一个元的阶都有限，证明 H 作成子群的充要条件是： 证明： 显然； ，设 ，则 。 习题 6 假定 和 是一个群 G 的两个元，并且 ，又假定 的阶是 ， 的阶是 ， ， 证明： 的阶是 。 证明：一方面， ； 另一方面，若 ，则 ； 同理， ； ， ，故， 的阶是 。 习题 7 若我们把同构的群看作一样的，一共只存在两个阶是 4 的群，它们都是交换群。 证明：设 ， 若 G 中有阶为 4 的元 ，则 ， ， 为循环群； 若 G 中无阶为 4 的群，则 ， ， ， ，此时群一定为交换群，且 ， 。 习题 8 假定 H 是 G 的子群，N 是 G 的不变子群，证明 HN 是 G 的子群。 证明： ，