Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 另一方面,由 Fubin定理,先关于u积分,有 Ie(t)=/ge(t-u)f(u)du 其中 (t) (练习:91()=e.由9()=(e-1),且∫(t)t=1,故L(t)→f(t)在D()(自 证)) 定理3(卷积):设f,h∈L(R).则g=h*f∈L1且 0(u)=h(u)f(u) 证:由定义 )=/-(/-=)) 因|f(t-)h(u)在R2上可积,由 Fubini定理和变量替换(t,u)→(v=t-u,u)得 g(w)=fei( f(u)h(u)dudu =(∫e-f(v)dt)(∫e-(u)dn) Table1: Fourier变换表: 逆f() f(-u) 卷积(1*f2)(u) 乘积f()2()是(1*)(a) 平移|f( 调制ef(t)f(u-) 尺度|∫(/s)|sf( 我们将主要在L2(R)中讨论小波,为此需要讨论这类函数的 Fourier变换 设f∈L1∩L2,则我们有 定理4 1).( Parseval等式)设f,g∈L2(R)∩L(),则 ,9)=(2n)-(,9)Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 3 另一方面，由Fubini定理，先关于ω积分，有 I²(t) = Z g²(t − u)f(u)du 其中 g²(t) = 1 2π Z e itωe −² 2ω 2/4 dω （练习：g1(t) = √ 1 π e −t 2 . 由g²(t) = ² −1 g1(² −1 t)，且 R g1(t)dt = 1，故I²(t) → f(t) 在L 1 (R)（自 证）). 定理3（卷积）: 设f, h ∈ L 1 (R n ). 则g = h ∗ f ∈ L 1且 gˆ(ω) = hˆ(ω) ˆf(ω) 证：由定义 gˆ(ω) = Z e −itω µZ f(t − u)h(u)du¶ dt. 因|f(t − u)h(u)|在R2上可积，由Fubini定理和变量替换(t, u) → (v = t − u, u)得 gˆ(ω) = R R e −i(u+v)ω f(u)h(u)dudv = (R e −ivωf(v)dv)(R e −iuωh(u)du). Table 1: Fourier变换表: f(t) ˆf(ω) 逆 ˆf(t) 2πf(−ω) 卷积 (f1 ∗ f2)(t) ˆf1(ω) ˆf2(ω) 乘积 f1(t)f2(t) 1 2π ( ˆf1 ∗ ˆf2)(ω) 平移 f(t − u) e −iuw ˆf(ω) 调制 e iξtf(t) ˆf(ω − ξ) 尺度 f(t/s) |s| ˆf(sω) 我们将主要在L 2 (R n )中讨论小波，为此需要讨论这类函数的Fourier变换。 设f ∈ L 1 ∩ L 2，则我们有 定理4： 1).（Parseval 等式）设f, g ∈ L 2 (R n ) ∩ L 1 (R n )，则 hf, gi = (2π) −n D ˆf, gˆ E