Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai, 2005 2 (2)次证f(u)→0当同→+∞(另证,见邓.101),我们有 I f(w)l ≤∫o)at+re-er(o e-ituf(t)dt 取g∈C(+≤N)使f-(gn)<E,则 f(t)(≤e+ tdt e-it g(t)dt g(t) N 有此推得f(u)→0. 我们考虑逆 Fourier变换。L1函数的 Fourier变换不一定属于L1,但在较强的条件下有 定理2(逆变换):若∫∈L(R")且∫∈L1(R),则 f(u)etd 证:(设n=1)我们有 +∞ f(a) 我们不能直接用 Fubini定理,因f(u)e-m(-在R2中不可积引入可积因子e-2(e>0),并 定义 I(t 由 Fubini定理,先关于u积分,有 Ie(t) 因()ee≤f()且何可积,由控制收敛定理,有 limIe(t)Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 2 (2) 次证 ∧ f(ω) → 0当|ω| → +∞(另证,见邓.101), 我们有 | ∧ f(ω)| ≤ R |t|≥N |f(t)|dt + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ R |t|≤N e −itωf(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ < ε 4 + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ R |t|≤N e −itωf(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . 取g ∈ C 1 (|t| ≤ N)使||f − g||L1(Rn) < ε, 则 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z |t|≤N e −itωf(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ² + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z |t|≤N e −itωg(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 但 Z |t|≤N e −itωg(t)dt = g(t)e −itω −iω | N −N + 1 iω Z N −N g 0 (t)e −itωdt 有此推得 ˆf(ω) → 0. 我们考虑逆Fourier变换。L 1函数的Fourier变换不一定属于L 1 , 但在较强的条件下有 定理2（逆变换）: 若f ∈ L 1 (R n )且 ˆf ∈ L 1 (R n ), 则 f(t) = 1 (2π) n Z Rn ˆf(ω)e iωtdω 证：（设n=1）我们有 1 2π Z ˆf(ω)e iωtdω = 1 2π Z +∞ −∞ µZ +∞ −∞ f(u)e iω(t−u) du¶ dω 我们不能直接用Fubini定理, 因f(u)e −iw(t−u)在R2中不可积. 引入可积因子e −² 2ω 2/4 (² > 0), 并 定义 I²(t) = 1 2π Z µZ f(u)e −² 2ω 2/4 e iω(t−u) du¶ dω. 由Fubini定理，先关于u积分，有 I²(t) = 1 2π Z ˆf (ω) e −² 2ω 2/4 e iωtdω 因 ¯ ¯ ¯ ˆf (ω) e −² 2ω 2/4 e iωt ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ˆf (ω) ¯ ¯ ¯ 且 ˆf可积，由控制收敛定理，有 lim²→0 I²(t) = 1 2π Z ˆf(ω)e iωtdω