Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 第二章 Fourier分析 J. Fourier1807年提出周期函数可表为三角级数的和随后,关于 Fourier级数以及 Fourier积 分的理论逐步建立. Fourier变换得到了广泛的应用。 在第一节中将介绍Ⅰ1与L2中 Fourier变换与逆变换及其性质。第二节是关于 Heisenberg不 确定性原理,并证明函数在时域与频域内不可能同时有紧支集。第三节将介绍时不变系统并 引入滤波的概念。将解释支集的大小与分辨率的关系。第四节是取样定理的简单介绍。第 五节是关于 Fourier级数。第六节将引入离散 Fourier变换及快速 Fourier变换。第七节介绍窗 口 Fourier变换及其重构。第八节是关于离散窗口 Fourier变换问题,将讨论离散化步长与框 架之间的关系 1 Fourier变换的定义及性质 定义:设∫∈L1(Rn), ourier积分 f(te dt 对任意的u∈Rn收敛,我们称它为f在u处的 Fourier变换,并记为f(u) 定理1( Riemann- Lebesgue引理):若∫∈L(R),则∫(u)连续,且当→+∞时,f(u)→0 证明:(仅对n=1)(1)f(u)连续。对ve>0,由于f∈L,彐N>0使 If(t)ldt 从而 I f(w+h)-f(w) ≤∫|e-a+b)-e-ilf(t)dt∫|e-a+b)-e-if(t)dt <2.E+ e-(+)-e-f(O)t 但当团≤N时,有 e-i+h)-e-出|=|e--11≤2tu≤2Nh 因此,只要h充分小,必有 I f(w+h)-f(w)1<5+2NIhl/If(t)ldt 故∫(u)连续Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 1 第二章 Fourier 分析 J. Fourier 1807年提出周期函数可表为三角级数的和. 随后, 关于Fourier级数以及Fourier积 分的理论逐步建立. Fourier变换得到了广泛的应用。 在第一节中将介绍L 1与L 2中Fourier变换与逆变换及其性质。第二节是关于Heisenberg 不 确定性原理，并证明函数在时域与频域内不可能同时有紧支集。第三节将介绍时不变系统并 引入滤波的概念。将解释支集的大小与分辨率的关系。第四节是取样定理的简单介绍。第 五节是关于Fourier级数。第六节将引入离散Fourier 变换及快速Fourier变换。第七节介绍窗 口Fourier变换及其重构。第八节是关于离散窗口Fourier变换问题，将讨论离散化步长与框 架之间的关系。 1 Fourier变换的定义及性质 定义: 设f ∈ L 1 (R n ), Fourier积分 Z Rn f(t)e −iωtdt 对任意的ω ∈ R n 收敛, 我们称它为f在ω处的Fourier变换,并记为 ∧ f(ω). 定理1(Riemann-Lebesgue引理): 若f ∈ L 1 (R n ), 则 ∧ f(ω)连续, 且当|ω| → +∞时, ∧ f(ω) → 0. 证明: (仅对n=1) (1) ∧ f(ω)连续。对∀ε > 0, 由于f ∈ L 1 , ∃N > 0 使 Z |t|≥N |f(t)|dt < ² 4 从而 | ∧ f(ω + h) − ∧ f(ω)| ≤ R |t|≥N |e −it(ω+h) − e −itω||f(t)|dt + R |t|≤N |e −it(ω+h) − e −itω||f(t)|dt < 2 · ε 4 + R |t|≤N |e −it(ω+h) − e −itω||f(t)|dt. 但当|t| ≤ N时,有 |e −it(ω+h) − e −itω| = |e −ith − 1| ≤ 2|tω| ≤ 2N|h|. 因此,只要|h|充分小, 必有 | ∧ f(ω + h) − ∧ f(ω)| < ε 2 + 2N|h| Z R1 |f(t)|dt < ε 故 ∧ f(ω)连续