类似本例将厂分解为若干个随机变量的和，然后利用数学期望的性质再求厂的数 学期望的方法，具有一定的普遍意义，使用得当，可使复杂问题简单化。 例12设二维随机变量(X,门的密度函数为八x,) r+s1 0 试验证E()=E(门，但r和P是不独立的. 解因为风=…=h层w=0, x2+2≤1 A=j∬x-dhd=0, π =j∬y…dd=0, 2+2≤1 所以E)=E(n门. 厂的边缘密度函数 m-x-层}-名-子1srL π 即f()= 2-F,-1≤x≤1 π 0 同理可得P的边缘密度函数，(y)= 2-,-1≤1 0 因为，所以八x,)≠千(x)(U),r和P是不独立的。 本例说明由()=()门.是不能得出X和Y是相互独立的结论的类似本例将 X 分解为若干个随机变量的和，然后利用数学期望的性质再求 X 的数 学期望的方法，具有一定的普遍意义，使用得当，可使复杂问题简单化。 例 1 1 2 2 设二维随机变量(X ,Y ) 的密度函数为         0, , 1 1 ( , ) 2 2 x y f x y  试验证 E(XY)  E(X)E(Y ),但 X 和Y 是不独立的. 解 因为 E XY xy dxdy x y      1 2 2 1 ( )          2 2 1 1 1 1 0, 1 x x xdx ydy  0, 1 ( ) 1 2 2       E X x dxdy x y  0, 1 ( ) 1 2 2       E Y y dxdy x y  所以 E(XY)  E(X )E(Y ). X 的边缘密度函数          2 2 1 1 1 ( ) ( , ) x x f X x f x y dy dy  1 , 1 1, 2 2   x   x   即           0 1 , 1 1 2 ( ) 2 x x f x X  同理可得Y 的边缘密度函数           0 1 , 1 1 2 ( ) 2 y y f Y y  因为，所以 f (x, y)  f X (x) f Y (y), X 和Y 是不独立的。 本例说明由 E(XY)  E(X )E(Y ).是不能得出 X 和Y 是相互独立的结论的