罗尔定理的证明 证明：由已知条件知f(x)在闭区间[a,b]上必取得它的最大值M和最小值m (1)如果M=m,fx)是常函数，则f(x)=0定理的结论显然成立. (2)如果M≠m,fx)不是常函数.由于fa)=f(b),因此fx)在闭区间[a,b上 最值不能同时取在端点.不妨M≠f(a).则M≠f(b).所以在(a,b)内至少存在一点 所以在(a,b)内至少存在一点使f()=M.因此存在5的某一邻域，是该 邻域的极值点.由费马引理可得 f'(5)=0证明: 由已知条件知 f ( ) x 在闭区间[,] a b 上必取得它的最大值M 和最小值m （1）如果M = m， f ( ) x 是常函数, 则 f x ′() 0 = 定理的结论显然成立. （2）如果 M ≠ m ， f ( ) x 不是常函数.由于 f () () a = f b ，因此 f ( ) x 在闭区间[,] a b 上 最值不能同时取在端点. 不妨 M ≠ f a( ). 则 M ≠ f b( ) .所以在(,) a b 内至少存在一点 邻域的极值点.由费马引理可得 所以在(,) a b 内至少存在一点 ξ 使 f () . ξ = M 因此存在 ξ 的某一邻域， ξ 是该 罗尔定理的证明 f ′() 0 ξ =