高维微分学——无限小增量公式 复旦力学谢锡麟 016年3月15日 1知识要素 11按单参数直线化思想进行,可有结论: 按一维函数的无限小增量公式 定理1.1(一元函数的无限小增量公式).如果f(x)∈R在o∈R点具有直至p阶导数,则 有 ∫(a+)=f(a)+∑点正(a)+(4)∈R 可有多元函数的无限小增量公式 定理1.2(多元函数的无限小增量公式).如果f(x)∈R在。∈Rm点具有直至p阶沿e 的方向导数,则有 f(Eo+ Ae)=f(ao)+)1 a*(Eo)Ak+O(AP)ER k! a k=1 af 证明引入O)=f(ax+Ae),则有30)()=(x,故按一维函数的无限小增量公式 有 ()=(0)+2 o(0)x+o(P)∈R 为将上述表达式中的各阶方向导数由偏导数表示,可做如下考虑 1.如有f(x)在开线段(xo-6e,o-0e)上可微,则有 =∑ Va∈ 2.进一步,如有∫(x)的一阶偏导数在开线段(-6e,xo-6e)上可微,则有 ()= 02f i-l Origo(a)e 2e l, VaE(o-de, a-se微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——无限小增量公式 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 按单参数直线化思想进行，可有结论： 按一维函数的无限小增量公式 定理 1.1 (一元函数的无限小增量公式). 如果 f(x) ∈ R 在 xo ∈ R 点具有直至 p 阶导数, 则 有 f(xo + λ) = f(xo) +∑ p k=1 1 k! d kf dxk (xo)λ k + o(λ p ) ∈ R, 可有多元函数的无限小增量公式 定理 1.2 (多元函数的无限小增量公式). 如果 f(x) ∈ R 在 xo ∈ R m 点具有直至 p 阶沿 e 的方向导数, 则有 f(xo + λe) = f(xo) +∑ p k=1 1 k! ∂ kf ∂e k (x0)λ k + o(λ p ) ∈ R. 证明 引入 ϕ(λ) = f(xo + λe), 则有 ∃ ϕ (p) (0) = ∂ kf ∂e k (xo). 故按一维函数的无限小增量公式, 有 ϕ(λ) = ϕ(0) +∑ p k=1 1 k! ϕ (k) (0)λ k + o(λ p ) ∈ R. 为将上述表达式中的各阶方向导数由偏导数表示, 可做如下考虑 1. 如有 f(x) 在开线段 (xo − δe, xo − δe) 上可微, 则有 ∂f ∂e (x) = ∑ M i1=1 ∂f ∂xi1 (x)e i1 , ∀ x ∈ (xo − δe, xo − δe). 2. 进一步, 如有 f(x) 的一阶偏导数在开线段 (xo − δe, xo − δe) 上可微, 则有 ∂ 2f ∂e 2 (x) = ∑ M i2,i1=1 ∂ 2f ∂xi2 x i1 (x)e i2 e i1 , ∀ x ∈ (xo − δe, xo − δe). 1