高维微分学—无限小增量公式 谢锡麟 3.依次类推,如有f()的所有p-2阶偏导数在开线段(xo-6e,xa-6e)上可微,则有 (x)=∑ aP-f (a)e 2,Vc∈(xo-6e,o-6e) 另一方面,按可微性的定义,对开线段上的任意一点霆,都会存在对应的球形领域Bx2(x), 其上存在p-2阶偏导数且都在球心连续,按可微性的充分性条件,有p-3阶偏导数在 c点可微.由此,如有f(x)的所有p-2阶偏导数在开线段(x-6e,co-6e)上可微,对 应有∫(x)及其1,…,p-3阶偏导数在开线段(xo-6e,xo-be)上可微 4.最后,如有∫(x)的所有p-1阶偏导数在co点可微,则有 p 就混合偏导数是否可以交换次序,可做如下考虑 按条件,∫(x)的所有k阶偏导数(k=1,……,p-1)在开线段(xo-6e,o-e)上可微 按可微性的定义,对开线段上的任意一点c,都会存在对应的球形领域Bx-(x),其上存在k 阶偏导数且都在球心连续,由此在c点k阶偏导数(k=1,……,p-1)可以交换次序. 2.如进一步要求,对co点,存在对应的球形领域Bx(x),其上存在p阶混合偏导数且在球 心连续,则在co点p阶混合偏导数可以交换次序 综述所述,可得 定理1.3(多元函数沿某方向的无限小增量公式).设有包含x0的线段(xo-6e,o-be)c %x,满足条件:f(x)在(xo-6e,xo-6e)上具有p-2阶可微的偏导数;co点具有可微的p-1 阶偏导数;另在co的一个球形领域Bx(o)上存在p阶混合偏导数且在球心连续。则有 an+)=()+>∑,a akf (xol)ek…ex+o()∈R k=1 式中各阶混合偏导数都可交换次序。 可引入h=Ae=[4,…,Aey],上述展开式往往又表示为 f(a+b)=(a)+∑ a rir(ao )h…h2x+o(hlg 另,可引入更强的条件f(x)∈6P(Bx(xo);R)2,BA(x)CDx,则就x的各个方向都存在无 限小增量公式.但需指出,展开式的“收敛速度”实际上依赖于方向而非形式上所表示的对所有 方向都有统一的“控制速度”,亦即并非存在对所有方向都适用的p阶无穷小量 ①因为p-2阶偏导数都在球心可微,而可微性对应连续性 ②指∫(x)在Bx(x)中存在p阶偏导数且都在球中每一点都连续微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 无限小增量公式 谢锡麟 3. 依次类推, 如有 f(x) 的所有 p − 2 阶偏导数在开线段 (xo − δe, xo − δe) 上可微, 则有 ∂ p−1f ∂e p−1 (x) = ∑ M ip−1,··· ,i1=1 ∂ p−1f ∂xip−1 · · · x i1 (x)e ip−1 · · · e i1 , ∀ x ∈ (xo − δe, xo − δe). 另一方面, 按可微性的定义, 对开线段上的任意一点 x，都会存在对应的球形领域 Bλx (x), 其上存在 p − 2 阶偏导数且都在球心连续➀. 按可微性的充分性条件, 有 p − 3 阶偏导数在 x 点可微. 由此, 如有 f(x) 的所有 p − 2 阶偏导数在开线段 (xo − δe, xo − δe) 上可微, 对 应有 f(x) 及其 1, · · · , p − 3 阶偏导数在开线段 (xo − δe, xo − δe) 上可微. 4. 最后, 如有 f(x) 的所有 p − 1 阶偏导数在 xo 点可微, 则有 ∂ pf ∂e p (xo) = ∑ M ip,··· ,i1=1 ∂ pf ∂xip · · · x i1 (x0)e ip · · · e i1 . 就混合偏导数是否可以交换次序，可做如下考虑 1. 按条件，f(x) 的所有 k 阶偏导数（k = 1, · · · , p − 1）在开线段 (xo − δe, xo − δe) 上可微. 按可微性的定义, 对开线段上的任意一点 x, 都会存在对应的球形领域 Bλx (x), 其上存在 k 阶偏导数且都在球心连续, 由此在 x 点 k 阶偏导数（k = 1, · · · , p − 1）可以交换次序. 2. 如进一步要求, 对 xo 点, 存在对应的球形领域 Bλx (xo), 其上存在 p 阶混合偏导数且在球 心连续, 则在 xo 点 p 阶混合偏导数可以交换次序. 综述所述，可得 定理 1.3 (多元函数沿某方向的无限小增量公式). 设有包含 x0 的线段 (xo − δe, xo − δe) ⊂ Dx，满足条件：f(x) 在 (xo −δe, xo −δe) 上具有 p−2 阶可微的偏导数；xo 点具有可微的 p−1 阶偏导数；另在 xo 的一个球形领域 Bλ(xo) 上存在 p 阶混合偏导数且在球心连续。则有： f(xo + λe) = f(xo) +∑ p k=1 1 k!   ∑m ik,··· ,i1=1 ∂ kf ∂xik · · · ∂xi1 (xo)e ik · · · e i1   λ k + o(λ p ) ∈ R 式中各阶混合偏导数都可交换次序。 可引入 h := λe = [ λe1 , · · · , λem ]T , 上述展开式往往又表示为 f(xo + h) = f(xo) +∑ p k=1 1 k!   ∑m ik,··· ,i1=1 ∂ kf ∂xik · · · ∂xi1 (xo)h ik · · · h i1   λ k + o(|h|Rm). 另, 可引入更强的条件 f(x) ∈ C p (Bλ(x0); R) ➁,Bλ(xo) ⊂ Dx, 则就 xo 的各个方向都存在无 限小增量公式. 但需指出, 展开式的“收敛速度”实际上依赖于方向而非形式上所表示的对所有 方向都有统一的 “控制速度”, 亦即并非存在对所有方向都适用的 p 阶无穷小量. ➀ 因为 p − 2 阶偏导数都在球心可微, 而可微性对应连续性. ➁ 指 f(x) 在 Bλ(xo) 中存在 p 阶偏导数且都在球中每一点都连续. 2