高维微分学—无限小增量公式 谢锡麟 12多项式逼近的唯一性 性质1.4(多项式逼近的唯一性).多项式逼近的唯一性可归纳为如下结论 1.设∑Ax2y2+on)=0(→0),此处P=v2+y,则有 A;=0,此处,j为非负整数而且i+j=0,1,2,…,n 2.设Pn(x)+o(p)=0(p→0),此处p=|algn,P(x)=∑akx,ak=ak2kn, k=∑k,x=2…x,k1,…,kn为非负整数,则有 0,因≤n 证明1.由∑Ay3+o(x2+y2)2)=0,即有 ∑Ar'y2+o(x2+y2))=0 取√2+y2→0,则有A0=0。再考虑 (A10x+40y)+∑Ary2+o(x2+y2)2)=0 所以有 A0/2+y2 +A A i x2+y2 x2+y2 +o(x2+y2)2)=0 取y=kx在令x→0,则有 A +Ao 0,Vk∈R √1+k2 故有A10=A01=0。设有 Aijz'y+o((z2+y2)2) 引入y=Ax,则有 ∑Ax++∑A1x++0(1+2)n2)=0 +i=k 由此有 Aii+ An+)-k+o(1+2)x-k) i+i=k i+j=k+1微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 无限小增量公式 谢锡麟 1.2 多项式逼近的唯一性 性质 1.4 (多项式逼近的唯一性). 多项式逼近的唯一性可归纳为如下结论 1. 设 ∑n i+j=0 Aijx i y j + o(ρ n ) = 0(ρ → 0)，此处 ρ = √ x 2 + y 2, 则有 Aij = 0, 此处i, j为非负整数而且i + j = 0, 1, 2, · · · , n; 2. 设 Pn(x) + o(ρ n ) = 0(ρ → 0)，此处 ρ = |x|Rn，Pn(x) = ∑ |k|6n akx k，ak = ak1k2···kn， |k| = ∑n i=1 ki，x k = x k1 1 x k2 2 · · · x kn n ，k1, · · · , kn 为非负整数, 则有 ak = 0, |k| 6 n. 证明 1. 由 ∑n i+j=0 Aijx iy j + o((x 2 + y 2 ) n 2 ) = 0，即有 A00 + ∑n i+j=1 Aijx i y j + o((x 2 + y 2 ) n 2 ) = 0 取 √ x 2 + y 2 → 0，则有 A00 = 0。再考虑 (A10x + A01y) + ∑n i+j=2 Aijx i y j + o((x 2 + y 2 ) n 2 ) = 0 所以有 A10 x √ x 2 + y 2 + A01 y √ x 2 + y 2 + ∑n i+j=2 Aij x iy j √ x 2 + y 2 + o((x 2 + y 2 ) n−1 2 ) = 0 取 y = kx 在令 x → 0，则有 A10 1 √ 1 + k 2 + A01 k √ 1 + k 2 = 0, ∀ k ∈ R 故有 A10 = A01 = 0。设有 ∑ i+j=k Aijx i y j + ∑n i+j=k+1 Aijx i y j + o((x 2 + y 2 ) n 2 ) = 0 引入 y = λx，则有 ∑ i+j=k Aijλ jx i+j + ∑n i+j=k+1 Aijλ jx i+j + o((1 + λ 2 ) n 2 x n ) = 0 由此有 ∑ i+j=k Aijλ j + ∑n i+j=k+1 Aijλ jx i+j−k + o((1 + λ 2 ) n 2 x n−k ) = 0 3