高维微分学一无限小增量公式 谢锡麟 取x→0可有 ∑A1=∑ 用矩阵可以表示为 Ako 0 Aok 将A分别取为1,2,…,k+1,即有 A 0∈R k+1 (k+1)k 此处系数矩阵为范德蒙行列式非奇异,故有A0=Ak-11=…=Aok=0 2.考虑高维情形 Ak1knx2…x+O(z x2)5)=0.p∈N k1+…+kn=0 则有 A0.0+ A3knx1…x+o(x2+…+x2) ∈N k1+…+kn=1 x1=A16 引入 则有 A0.0+ Ak o()=0 取θ→0,则有A0.0=0。由此可有 (A10-x1+…+A0.01xn)+ Akil o(x2+…+x2)5)=0 x1=A10 同样引入 则有 (A10.0A1+……+A0-01An)6+ Ak2kn(2…)0++km+o(0)=0 k1+…+kn=2微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 无限小增量公式 谢锡麟 取 x → 0 可有 ∑ i+j=k Aijλ j = ∑ k j=0 Ak−j,jλ j = 0 用矩阵可以表示为 [ λ 0 , λ1 , · · · , λk ]        Ak0 Ak−1,1 . . . A0k        = 0 将 λ 分别取为 1, 2, · · · , k + 1，即有        1 1 · · · 1 1 2 · · · 2 k . . . . . . . . . . . . 1 k + 1 · · · (k + 1)k               Ak0 Ak−1,1 . . . A0k        = 0 ∈ R k+1 此处系数矩阵为范德蒙行列式非奇异，故有 Ak0 = Ak−1,1 = · · · = A0k = 0。 2. 考虑高维情形 ∑ p k1+···+kn=0 Ak1···kn x k1 1 · · · x kn n + o((x 2 1 + · · · + x 2 n ) p 2 ) = 0, p ∈ N 则有 A0···0 + ∑ p k1+···+kn=1 Ak1···kn x k1 1 · · · x kn n + o((x 2 1 + · · · + x 2 n ) p 2 ) = 0, p ∈ N 引入    x1 = λ1θ · · · xn = λnθ 则有 A0···0 + ∑ p k1+···+kn=1 Ak1···kn ( λ k1 1 · · · λ kn n ) θ k1+···+kn + o(θ p ) = 0 取 θ → 0，则有 A0···0 = 0。由此可有 (A10···0x1 + · · · + A0···01xn) + ∑ p k1+···+kn=2 Ak1···kn x k1 1 · · · x kn n + o((x 2 1 + · · · + x 2 n ) p 2 ) = 0 同样引入    x1 = λ1θ · · · xn = λnθ 则有 (A10···0λ1 + · · · + A0···01λn) θ + ∑ p k1+···+kn=2 Ak1···kn ( λ k1 1 · · · λ kn n ) θ k1+···+kn + o(θ p ) = 0 4