高维微分学一无限小增量公式 谢锡麟 由此有 (A10.0A1+……+A0.01An)+ o(-1)=0 取θ→0,则有A10.0 A0.01Mn=0,亦即 0 可有A10.0=…=A001=0。设有 A xn+o(1+…+ k1+…+kn=q 引入 则有 Ak xn)0+ +…+k +o(6)=0 k1+…+kn=q k1+…+kn=q+1 可以得到 考虑 可有 m1=0,Vkn=0,1 再考虑 以此类推至二次式,即 Ak1k22=0 k1+k+2=q-(kn+kn-1+…+k3) 按(1)中分析即可得所有系数均为零微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 无限小增量公式 谢锡麟 由此有 (A10···0λ1 + · · · + A0···01λn) + ∑ p k1+···+kn=2 Ak1···kn ( λ k1 1 · · · λ kn n ) θ k1+···+kn−1 + o(θ p−1 ) = 0 取 θ → 0，则有 A10···0λ1 + · · · + A0···01λn = 0，亦即 [λ1, · · · , λn]     A10···0 . . . A0···01     = 0 可有 A10···0 = · · · = A0···01 = 0。设有 ∑ k1+···+kn=q Ak1···kn x k1 1 · · · x kn n + ∑ p k1+···+kn=q+1 Ak1···kn x k1 1 · · · x kn n + o((x 2 1 + · · · + x 2 n ) p 2 ) = 0 引入    x1 = λ1θ · · · xn = λnθ 则有 ∑ k1+···+kn=q Ak1···kn ( λ k1 1 · · · λ kn n ) θ q+ ∑ p k1+···+kn=q+1 Ak1···kn ( λ k1 1 · · · λ kn n ) θ k1+···+kn+o(θ p ) = 0 可以得到 ∑ k1+···+kn=q Ak1···kn ( λ k1 1 · · · λ kn n ) = 0 考虑 ∑ q kn=0   ∑ p k1+···+kn−1=q−kn Ak1···kn−1kn λ k1 1 · · · λ kn−1 n−1   λ kn n = ∑ q kn=0 Ckn λ kn n = 0 可有 ∑ k1+···+kn−1=q−kn Ak1···kn−1kn λ k1 1 · · · λ kn−1 n−1 = 0, ∀ kn = 0, 1, · · · , q 再考虑 q ∑−kn kn−1=0   ∑ p k1+···+kn−2=q−kn−kn−1 Ak1···kn−2kn−1kn λ k1 1 · · · λ kn−2 n−2   λ kn−1 n−1 = 0 以此类推至二次式，即 ∑ k1+k+2=q−(kn+kn−1+···+k3) Ak1k2 λ k1 1 λ k2 2 = 0 按 (1) 中分析即可得所有系数均为零。 5