向曲面,这是个的唯一的拓扑不变式.一般讲起来,假使球上加几个环,环的 个数就跟 Euler示性数有个关系:这环的个数普通叫曲面的亏格( genus),这 是曲面最重要的拓扑不变式.有意思的是,这曲面的性质,曲面上头函数的 性质跟亏格有密切的关系,所以亏格是拓扑不变式,个影响到曲面的几何性 质和解析性质,有非常之重要的影响.所以整个这些关系是很深奥的,相当 深奥的.因此,也是非常要紧,非常有意思的.我上次证明 Gauss-Bonnet公 式,最要紧的公式就是 du12=-u13∧u23 u1∧w2 (6.2) 我现在重复一遍.要研究曲面论的话,一定要研究曲面上的标架.假使取这 个标架,使标架的3个单位矢量互相垂直,并且我们假定个是个右手系,即 在两个之间选择一个右手或者左手,我们假使是右手系.那么,对于这样子 标架,假使你知道第一个矢量之后,其个两个矢量就确定了.因为我们假定 第三个是曲面的单位法矢量,那么第一个,第三个定了的话,第二个也就定 了.事实上,我这是一个单位标架,同时是右手系(右手标架),这就完全定了 所以对于在一个点的所有这种样子的标架,一共这种标架有单参数系one parameter family),是根据了一个变数.曲面是2维的,再加上这点的标架有 个参数,所以曲面所有标架是一个3维的空间.3维空间有x这个顶点,定个 在曲面的位置,个去掉两个维,然后再取一个切线方向,又有一个维,因为切 线在切面里头可以转,所以又多了一维.这样子就得到所有标架系所成空间 的3维的性质.有了标架系,有什么好处呢?因为有了矢量,你可以用公式来 表示出来矢量有分量,这分量就有数.我们搞数学最要紧的要有数.你要 有数的话,描写是准确的,并且应用的时候你可以观察到的都是数.在某种 意义下为什么微积分要紧?我想数学主要的目的是研究函数,研究两个系统 的关系。现在这关系呢,函数不好搞了,所以微积分是把这个关系线性化,因 此可以用代数矢量可以加,拿个数目来乘,所以微积分主要的成就是把空 间的理论,把函数的理论线性化,代数化.有了代数以后,你就可以算,所以 就有用,因此也重要.那么有了标架所得到的解析的事实是什么呢?我把这✺▼➪, ❨✹➬④➁✘④❴➚❳★✯. ✘➘❨å✉, ✧✫❊Þ✜✁➬➣, ➣④ ➬❥Ò❐Euler✰✉❥❿➬✞ø: ❨➣④➬❥✃✴✇▼➪④❩➶(genus), ❨ ✹▼➪✦➢✞④❴➚❳★✯. ❿❄❻④✹, ❨▼➪④✉➓, ▼➪Þ❃❁❥④ ✉➓❐❩➶❿➲★④✞ø, ➘✶❩➶✹❴➚❳★✯, ➬❦✴t▼➪④✁❬✉ ➓❩❽Û✉➓, ❿✿➒❷➢✞④❦✴. ➘✶r➬❨❏✞ø✹✐ý↔④, ★❤ ý↔④. ❖✩, ✎✹✿➒✞➏, ✿➒❿❄❻④. ➲Þ✬②ÒGauss-BonnetÚ ✯, ✦✞➏④Ú✯Ò✹ dω12 = −ω13 ∧ ω23 = −Kω1 ∧ ω2. (6.2) ➲✙ó➢❹✘✭. ✞Ï➘▼➪❳④➏, ✘➼✞Ï➘▼➪Þ④✮✪. ✧✫❘❨ ➬✮✪, ✫✮✪④3➬❭➔✪Þ➄★✒❺, ❄✪➲➣✧➼➬✹➬➁❈ø, ý óÜ➬❷✲➔✡✘➬➁❈Ý❱✫❈, ➲➣✧✫✹➁❈ø. ￾➃, é➉❨ø✝ ✮✪, ✧✫✜⑧✇➅✘➬✪Þ❷⑨, Ù➬Ü➬✪ÞÒ❤➼ê. ❖➃➲➣✧➼ ➅➤➬✹▼➪④❭➔✛✪Þ, ￾➃➅✘➬, ➅➤➬➼ê④➏, ➅✓➬✎Ò➼ ê. ✴✧Þ, ➲❨✹✘➬❭➔✮✪, ✸✣✹➁❈ø(➁❈✮✪), ❨Òq❭➼ê. ➘✶é➉ó✘➬➎④➘❿❨➠ø✝④✮✪, ✘á❨➠✮✪❿❭❦❥ø(one parameter family), ✹✃âê✘➬★❥. ▼➪✹2➅④, ò✜Þ❨➎④✮✪❿ ✘➬❦❥, ➘✶▼➪➘❿✮✪✹✘➬3➅④✽✲. 3➅✽✲❿x❨➬➸➎, ➼➬ ó▼➪④➔➌, ➬❱➠Ü➬➅, ❧⑨ò❘✘➬★✧✵✺, ➅❿✘➬➅, ❖➃★ ✧ó★➪➦❃✱✶Ý, ➘✶➅õê✘➅. ❨ø✝Ò③t➘❿✮✪ø➘➘✽✲ ④3➅④✉➓. ❿ê✮✪ø, ❿✤➃Pÿ✑? ❖➃❿ê✪Þ, ✜✱✶⑦Ú✯✉ ✱✰ñ✉. ✪Þ❿■Þ, ❨■ÞÒ❿❥. ➲➣➫❥➛✦✞➏④✞❿❥. ✜✞ ❿❥④➏, ➹❯✹ï❤④, ❄✪❛⑦④✣⑧✜✱✶✡❽t④Ñ✹❥. óì➠ ❄❇✆➃✤➃❻è■✞➏? ➲✳❥➛❒✞④ø④✹Ï➘❁❥, Ï➘Ü➬ø✿ ④✞ø. ✙ó❨✞ø✑, ❁❥❳P➫ê, ➘✶❻è■✹➨❨➬✞ø✧✉➎, ❖ ✩✱✶⑦❙❥. ✪Þ✱✶✜, ü➬❥ø✉➷, ➘✶❻è■❒✞④➘Ò✹➨✽ ✲④➤❳, ➨❁❥④➤❳✧✉➎, ❙❥➎. ❿ê❙❥✶⑨, ✜Ò✱✶➤, ➘✶ Ò❿⑦, ❖✩✎➢✞. ￾➃❿ê✮✪➘③t④❽Û④✴✧✹✤➃✑? ➲➨❨ 3