2关于学习的自动性 这个课快结束了,你们在这个课写个报告,最好是自动你能够自己找到 个问题,这是更要紧的.我想你们都是大学生,大学生受高等教育最后的 段,以后到社会上去,即使在学校,在学术单位里头,最要紧的一定要自动 不要是等老师叫你做什么,你再做什么,这个最坏.要自动,要自己能找问 题,要自己能够答复自己找的问题.那么,当然你找的问题不一定合适,你暂 时也不一定能够得到答案.不过,你中间经过一些弯路,经过一些错误,可以 使得你的学问真正进步,而使得你真正进步的就是要经过这样的手续,所以 我鼓励大家要自动.多一点地讲起来,你们甚至要能够组织一个团体,互相 报告找问题,或者请校内校外老师,同学来做报告,这是很有好处的,自己要 把数学想一想,或者对任意的学问,你自己有个思想,觉得有个什么样的活 动,对于你,对于这个学问的知识可以增加,同时你对学问的能力也可以增 加.所以这是很值得注意的一件事情,希望你们考虑一下这个可能性 3 Gauss-Bonnet公式的证明 上次,Gaus- Bonnet公式我没有证明全,所以我先把证明说全了.我上次讲 的 Gauss-Bo nnet公式就是:假使在空间里头有一个曲面,它是一个整个的 曲面,并且假使这个曲面是定向的,即它的法线有一定的方向,于是这样子, Gaus率K就是曲面上的一个函数,我可以把这个函数对于曲面上的面积 度量求积分,这个积分是一个2重积分,求它积分之后,结果这个积分等于 个常数(2)乘以曲面的 Euler示性数即 KdA=2丌x(M) (6.1) Euler示性数就是把曲面切成小块之后,适于一点自然的条件,把它切完之 后,其顶点个数一边的个数+面的个数,这样3个数的正负的和就叫做这个曲 面的 Euler示性数.当曲面是球面的话,它的Eule示性数=2,如果它是个环 面,它的 Euler示性数是0.你们可以试一试,就能得到这个.如果曲面是个定 22 ✞➉➛ó④✞➘✉ ❨➬✶❖❼❡ê, ✜➣ó❨➬✶❯➬ç➲, ✦P✹✞➘. ✜✕ê✞✄■t✘ ➬➥☛, ❨✹❮✞➏④. ➲✳✜➣Ñ✹▲➛✠, ▲➛✠■➦⑧s➳✦⑨④✘ ã, ✶⑨tö❒Þ❱, ý✫ó➛❉, ó➛❜❭➔➦❃, ✦✞➏④✘➼✞✞➘. ❳✞✹⑧➄✓✇✜✮✤➃, ✜ò✮✤➃, ❨➬✦➔. ✞✞➘, ✞✞✄✕■➥ ☛, ✞✞✄✕ê■❹✞✄■④➥☛. ￾➃, ❤❧✜■④➥☛❳✘➼❭✼, ✜ö ✣✎❳✘➼✕ê③t■➍. ❳✱, ✜➙✲➨✱✘❏❦✹, ➨✱✘❏❋Ø, ✱✶ ✫③✜④➛➥❪t➓❩, ✌✫③✜❪t➓❩④Ò✹✞➨✱❨ø④❈➍, ➘✶ ➲ó➵▲✛✞✞➘. õ✘➎➃❨å✉, ✜➣☎➊✞✕ê✜❸✘➬▲✍, ➄★ ç➲■➥☛, Ý❱❃❉✓❉✐➄✓, ✸➛✉✮ç➲, ❨✹✐❿Pÿ④, ✞✄✞ ➨❥➛✳✘✳, Ý❱é⑧❄④➛➥, ✜✞✄❿➬❻✳, ú③❿➬✤➃ø④Ù ➘, é➉✜, é➉❨➬➛➥④⑧★✱✶✎✜, ✸✣✜é➛➥④✕➴✎✱✶✎ ✜. ➘✶❨✹✐❾③Õ❄④✘●✴❁, æ❶✜➣✤❉✘✆❨➬✱✕✉. 3 Gauss-BonnetÚ✯④②Ò Þ✬, Gauss-BonnetÚ✯➲➊❿②Ò❭, ➘✶➲☛➨②Ò⑨❭ê. ➲Þ✬❨ ④Gauss-Bo nnetÚ✯Ò✹: ✧✫ó✽✲➦❃❿✘➬▼➪, ➬✹✘➬r➬④ ▼➪, ❄✪✧✫❨➬▼➪✹➼✺④, ý➬④✛✧❿✘➼④✵✺, ➉✹❨ø✝, Gauss▼●KÒ✹▼➪Þ④✘➬❁❥, ➲✱✶➨❨➬❁❥é➉▼➪Þ④➪è ÝÞ❋è■, ❨➬è■✹✘➬2➢è■, ❋➬è■❷⑨, ❼✯❨➬è■⑧➉✘ ➬➒❥(2π)➷✶▼➪④Euler ✰✉❥. ý Z Z KdA = 2πχ(M) (6.1) Euler✰✉❥Ò✹➨▼➪★➘❇▲❷⑨, ✼➉✘➎✞❧④✣●, ➨➬★q❷ ⑨, Ù➸➎➬❥−✣④➬❥+➪④➬❥, ❨ø3➬❥④t❿④❩Ò✇✮❨➬▼ ➪④Euler✰✉❥. ❤▼➪✹❊➪④➏, ➬④Euler✰✉❥= 2, ➌✯➬✹➬➣ ➪, ➬④Euler ✰✉❥✹0. ✜➣✱✶❆✘❆, Ò✕③t❨➬. ➌✯▼➪✹➬➼ 2