第六讲曲面论(三) Gauss-Bonne公式(续 2001年11月30日 1微积分在复变函数论中应用简介 我还应该再讲两次.这两次我有个计划:预备讲一点复变函数论,因为在数 学中,很要紧的一件事实,同时在数学史上也是非常要紧的一件事情,就是 有复数.这个复数使得数学简单,复函数有许多漂亮,有意思的性质,因此 这使得这些函数在应用上特别有用处.所以,我预备讲一讲,比如说,复变函 数有一个很重要的性质:任意的代数方程在复变函数之中一定有解.这是 个不得了的事情,因为不管你怎么样写一个方程,你要是允许解是复数的话 它一定有解.例如,x2+1=0,那么它有个解就是√-1,所以√-就这么样 子有用处.不但如此,复数跟实数一样,可以加减,有同样的性质,所以,它 可以运算.同时它包含了许多材料是实数不能包含的.我想我的课在过程中 定会有个空挡,在空挡的时候,我想找两次讲复变函数我预备讲:一个是 我刚才讲的代数的基本定理,就是说任意的代数的方程在复数域中一定有 解.这个是很难证明的,需要数学上新的观念.比方说,伟大数学家如 Euler, 他想法子证明,但没有能成功.我想 Gauss是我们近代最伟大的数学家,他 很年轻的时候就有一个证明,也就是复数需要一些几何的性质,不完全是代 数的问题我预备下次讲复数的时候证明这个定理:同时,复变函数最主要 的一个定理是 Picard定理,就是说,假使对于一个复变函数,取它的函数值在 复平面里头所取的位置,它把整个复平面都盖住了,其中也许可以去掉一点 两点.这是不得了的,就是说,函数如果是一个全纯函数的话,它分布得非常 之均匀,可以说差不多把平面都盖住了.有意思的一件事情是这个定理是复 变函数高峰的定理,可以利用我们现在要讲的 Gauss-Bonnet公式来证明.这 说明看起来没有关系的一些方法跟观念,结果是有关系的.这是数学上非常 要紧,有意思的问题➅✘❨ ▼➪❳(➤) ✠Gauss-BonnetÚ✯(➍) 2001★11Û30❺ 1 ❻è■ó❹★❁❥❳➙❛⑦❀➄ ➲↕❛➈ò❨Ü✬. ❨Ü✬➲❿➬✎➍: ➼÷❨✘➎❹★❁❥❳, ❖➃ó❥ ➛➙, ✐✞➏④✘●✴✧, ✸✣ó❥➛✩Þ✎✹✿➒✞➏④✘●✴❁, Ò✹ ❿❹❥. ❨➬❹❥✫③❥➛❀❭, ❹❁❥❿➂õ↕à, ❿❄❻④✉➓, ❖✩, ❨✫③❨❏❁❥ó❛⑦Þ✁✴❿⑦ÿ. ➘✶, ➲➼÷❨✘❨, ✞➌⑨, ❹★❁ ❥❿✘➬✐➢✞④✉➓: ⑧❄④❙❥✵➬ó❹★❁❥❷➙✘➼❿❽. ❨✹✘ ➬❳③ê④✴❁, ❖➃❳☛✜✍➃ø❯✘➬✵➬, ✜✞✹ã➂❽✹❹❥④➏, ➬✘➼❿❽. ➽➌, x 2 + 1 = 0, ￾➃➬❿➬❽Ò✹ √ −1, ➘✶ √ −1Ò❨➃ø ✝❿⑦ÿ. ❳❜➌✩, ❹❥❐✧❥✘ø, ✱✶✜❃, ❿✸ø④✉➓, ➘✶, ➬ ✱✶ä➤. ✸✣➬Ý✾ê➂õ❛î✹✧❥❳✕Ý✾④. ➲✳➲④✶ó✱➬➙ ✘➼❒❿➬✽✐, ó✽✐④✣⑧, ➲✳■Ü✬❨❹★❁❥. ➲➼÷❨: ✘➬✹ ➲➛❜❨④❙❥④äý➼➤, Ò✹⑨⑧❄④❙❥④✵➬ó❹❥➢➙✘➼❿ ❽. ❨➬✹✐✡②Ò④, ❽✞❥➛Þ❝④✡✬. ✞✵⑨, ➉▲❥➛✛➌Euler, ➷✳✛✝②Ò, ❜➊❿✕➘Õ. ➲✳Gauss ✹➲➣↔❙✦➉▲④❥➛✛, ➷ ✐★✹④✣⑧Ò❿✘➬②Ò, ✎Ò✹❹❥❽✞✘❏✁❬④✉➓, ❳q❭✹❙ ❥④➥☛. ➲➼÷✆✬❨❹❥④✣⑧②Ò❨➬➼➤;✸✣, ❹★❁❥✦❒✞ ④✘➬➼➤✹Picard➼➤, Ò✹⑨, ✧✫é➉✘➬❹★❁❥, ❘➬④❁❥❾ó ❹➨➪➦❃➘❘④➔➌, ➬➨r➬❹➨➪Ñ➌Ôê, Ù➙✎➂✱✶❱➠✘➎, Ü➎. ❨✹❳③ê④, Ò✹⑨, ❁❥➌✯✹✘➬❭✘❁❥④➏, ➬■❨③✿➒ ❷þá, ✱✶⑨❿❳õ➨➨➪Ñ➌Ôê. ❿❄❻④✘●✴❁✹❨➬➼➤✹❹ ★❁❥➦❳④➼➤, ✱✶➻⑦➲➣✙ó✞❨④Gauss-BonnetÚ✯✉②Ò. ❨ ⑨Ò✗å✉➊❿✞ø④✘❏✵✛❐✡✬, ❼✯✹❿✞ø④. ❨✹❥➛Þ✿➒ ✞➏, ❿❄❻④➥☛. 1