第1章 有限单元法基本程式 有限单元法(Finite Element Method,简称FEMD是一种求解微分方程的近 似方法，起点自然是针对物理或工程问题建立起来的微分方程，包括控制方程和 边界条件：而有限元分析程式早己标准化，典型步骤包括结构或区域离散、单元 分析、整体分析和数值求解。 本章以弹性力学平面问题为例，阐述有限单元法的基本概念与程式。采用 有限单元法求解平面问题不仅简单，而且具有典型性。掌握了平面问题的有限 元分析方法，就可以很容易地推广到其他问题中去。 1.1弹性力学平面问题 1.1.1基本概念 平面问题是指这样一些问题，其结构尺寸及荷载分布沿某个方向（通常取为 之轴)不变，且具有特殊的边界条件。这样，结构内部的应力和应变就与之坐标 无关，而只是x,y坐标的函数。平面问题分为两种，即平面应力问题和平面应 变问题。 1)平面应力问题 如果在结构内部只存在xy平面内的三个应力分量。，o,c,而另外三个 应力分量=xa=x=0,则称为平面应力问题。例如，只承受纵向面内荷载 的薄板就可近似地视为这种问题（图1.1）：由于板很薄，故可认为应力和应变 与之坐标无关。再注意到平板两面上的a,=x=t=0,便可近似地认为这些 应力分量在板内也为零。对于各向同性线性弹性介质，根据广义Hooke定律， 平面应力问题中的Yz和Y,显然为零，而e:由下式确定 ,=-(+） 1.1) 其中，E为弹性模量：v为泊松比。第 １章  有限单元法基本程式 有限单元法（ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄ，简称ＦＥＭ）是一种求解微分方程的近 似方法，起点自然是针对物理或工程问题建立起来的微分方程，包括控制方程和 边界条件；而有限元分析程式早已标准化，典型步骤包括结构或区域离散、单元 分析、整体分析和数值求解。 本章以弹性力学平面问题为例，阐述有限单元法的基本概念与程式。采用 有限单元法求解平面问题不仅简单，而且具有典型性。掌握了平面问题的有限 元分析方法，就可以很容易地推广到其他问题中去。 １１ 弹性力学平面问题 １１１ 基本概念 平面问题是指这样一些问题，其结构尺寸及荷载分布沿某个方向（通常取为 ｚ轴）不变，且具有特殊的边界条件。这样，结构内部的应力和应变就与ｚ坐标 无关，而只是ｘ，ｙ坐标的函数。平面问题分为两种，即平面应力问题和平面应 变问题。 （１）平面应力问题 如果在结构内部只存在ｘｙ平面内的三个应力分量σｘ，σｙ，τｘｙ，而另外三个 应力分量σｚ＝τｚｘ＝τｚｙ＝０，则称为平面应力问题。例如，只承受纵向面内荷载 的薄板就可近似地视为这种问题（图１１ａ）：由于板很薄，故可认为应力和应变 与ｚ坐标无关。再注意到平板两面上的σｚ＝τｚｘ＝τｚｙ＝０，便可近似地认为这些 应力分量在板内也为零。对于各向同性线性弹性介质，根据广义 Ｈｏｏｋｅ定律， 平面应力问题中的γｚｘ和γｚｙ显然为零，而εｚ由下式确定 εｚ＝－ν Ｅ（ ） σｘ＋σｙ （１１） 其中，Ｅ 为弹性模量；ν为泊松比