证只需对j=0的场合证明即可。易证只有C:的第3、4号结点和C':的第7、10号 结点(n=1,2,…)在直线L6上，再从(4)式和引理4知L。轴上的圆C。上第8、9号结点 连线金体巢合构成了L。轴上Fibonacci排列中的全体元素b,所以注意到命题2后只需证： (A)若dist(C,C:+1)=a+b,则在C:,:和C,连线上恰好没有L1轴上任意圆C'{ 的第7、10号结点。 (B)若dist(C:,C:+1)=2a+b,则在C:.,和C:*:连线上恰好只在中点处有L1轴上 某个圆C1'的一个结点。 (A)的证明：对于”2，因C:必为完整圆而C:1必是被叠圆，且.C:-1也是完整圆。 故行关系： X:=X-1+(a+b+a),X:+1=X:-1+3a+2b;X'11=X:1+(a+b)+(a+b)cos72°， X'i=X:-1+(3a+2b)+(a+b)cos72° (11) 和X11<X:<X:+1<X'1。可见L1轴上与C。,。、C。:距离最近的圆心分别是C16和 C1.。,其距离及结点间关系为 dist(C.,C)=dist(Co,C)=a+b;C/110=C3.3C/i.7=C(12) (B)的证明：此时需分8种情况进行证明 (1)C:是被叠圆，而C:+1是与C:相离的另一对相叠圆中的完整圆。此时可知C:、 C:+1、C1、C；之心的x坐标（注意(11）)及结点间的关系为 Xg=X81+(a+b);X。+1=X&-1+3a+2b (13 X':-1=X。-1+(a+b)(1+cos72°)，X'1=X:1+(2a+2b)+(a+b)cos72°和 C1,=C0.;C1.1。=Ct} (14) 即只有点C'i。=C1.,在C:.,和C}连线的中点上 (14) (2)C:同(1)但C:+1是与其它圆相分离的完整圆，此时尽管C:+'是-一个完整的分离 圆，但(1)的证明完全适于此处。故知(14)、(14)的结论仍真。 (3)C。同(2)中的C*1而C。+1同(1)中的C:+1,此时因C,同(2)中的C:+1,C:+1同 (1)的C:+1,故从(14)知 C11。=C0.;C1.1。=Ct} (15) 即只有点C1.,在C?,和C,!连线的中点上 (15) 定理4对于j=0,±1，±2，…，设L,+1是与L2i1轴相距为+asin72°的平行线。则 从以(x2+1,y2+1)为心的圆周上的第4号结点算起，L:+,上的结点服从拟-Fibonacci排 列a八F.,n=0,1,2,…o 证只需证j=-1的情形即可。与上定理相仿，今证将定理3中的L、L1轴易为此处 的L~1,L。轴后，该定理的(A)和(B)仍成立即可。 (A)的证明：圆C”1、C11之心的×坐标为 X"1=X'+(a+b+a);X'=X:,+(a+b) (16) 由引理2可推出Ct2之心和L0轴上圆C。+2之心的x坐标及结点关系为 395证 只 需对 的场 合 证明即可 。 易证 只有 刃的第 、 号结 点和 ‘ 飞的第 、 号 结 点 二 ， ， “ · 在直线 言 上 。 再 从 式和 引理 知 。 轴上 的 圆 刃上 第 、 号 结 点 连线 全 体集合构 成 了 么轴上 排 列 中的 全 体元 素 ， 所 以注意 到命题 后只 需证 若 ， ’ “ 十 ， 则在 ， 和 连 线 上 恰好没有 引 轴 上 任意 圆 ‘ 的第 、 号结点 。 若 “ ， 十 ‘ 二 ， 则在 二 ， ， 和 刃扮 连 线 上 恰好 只在 中点 处 有 几轴 上 某个 圆 二 ‘ 的一 个结 点 。 的 证明 对于 。 ， 因 必 为完整 圆而 “ 必 是 被叠 圆 ， 且 犷 ’ 也是完整 圆 。 故有 关系 刃 二一 ’ 二 ’ 二一 ‘ 斗 一 乙 ‘ 二 一 ’ 一 ’ 。 ， 一 ’ “ 和 ‘ 飞 一 ’ 二 千 ’ ‘ 二 。 可 见 ，轴上 与 占 。 、 吕士占距离最近 的圆心 分 别 是 ‘ 犷丢和 ‘ 呈 。 ， 其距离及结 点间关系为 右 。 ， ‘ 丁孟 二 孟士孟 ， ‘ 。 ， 里丁 。 言 ‘ ， ， 孟 十 的 证明 此 时需分 种情况进 行证 明 是 被叠 圆 ， 而 二 ‘ 是 与 相离 的另一对 相叠 圆 中的完整 圆 。 此 时 可 知 、 ‘ 、 ， 飞 一 ’ 、 ‘ 飞之 心的 二 坐标 注意 及结 点’ 的关系为 一 ‘ 二 ‘ ’ 二 一 ‘ 冲 ， 一 ’ 忿一 ‘ 吞 一 。 ‘ 二 二 一 ’ 。 和 ‘ 二万 孟 ， ‘ 丁 。 二士 即只有 点 ‘ 二丁 。 ‘ 飞 ， ， 在 孟 和 犷二连线 的 中点上 ， 口 同 但 二 十 ‘ 是与其 它 圆相分离 的完整 圆 ， 此 时尽 管 ’ 是一 个完整 的 分 离 圆 ， 但 的 证明完 全 适于 此处 。 故 知 、 ’ 的结论 仍 真 。 同 中的 十 ’ 而 二 ‘ 同 中的 ‘ ， 此时 因 同 中的 十 ‘ ， 十 ’ 同 的 ’ ， 故 从 知 ‘ 飞丁 。 二 ， ， ‘ 飞 ， 。 即只有点 ‘ 号 ， 在 急 和 孟 连线 的中点上 定理 对于 。 ， 士 ， 士 ， … ， 设 ，十 ， 是 与 ，、 、 轴 相距 为 。 的平行 线 。 则 从 以 ‘ ， ， ，十 为心 的圆 周上 的第 号结 点算起 ， 宝 ， 曰 的结 点服 从 拟一 排 列 。 ， ， ， ， … 。 证 只需证 一 的情形即 可 。 与上 定理 相 仿 ， 今 证将 定理 中的 。 、 气轴 易为此 处 的 ， ，轴后 ， 该定理 的 和 仍 成立 即可 。 的证 明 圆 兰 、 鱿 ‘ 之 心的 二 坐标 为 二， 筑 ’ 、 二 ’ 竺 由引理 可 推出 结 之 心 和 毛轴上 圆 犷 ’ 之 心的 坐标及结 点关系为